CF605E-Intergalaxy Trips【期望dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF605E

1|1题目大意

给出 $n$ 个点的一张完全有向图，每一天 $i$ 到 $j$ 的路径有 $p_{i,j}$ 的概率出现。
询问从 $1$ 出发走到 $n$ 在最优策略下的期望天数。

$1\leq n\leq 10^3,p_{i,i}=1$

1|2解题思路

设 $g_i$ 表示从 $i$ 到 $n$ 的答案，那么 $g$ 满足式子

g_{i} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{g_{j}}{\prod_{g_{k} < g_{j}} (1 - p_{j, k})} \times p_{i, j} \times \prod_{g_{k} < g_{j}} (1 - p_{i, k})

$g_i=\sum_{j=1}^{n}\frac{g_{j}}{\prod_{g_k<g_j}(1-p_{j,k})}\times p_{i,j}\times \prod_{g_k<g_j}(1-p_{i,k})$

注意到里面有条件 $g_k<g_j$ ，但是我们并不知道 $g$ ，好像就死循环了。

但是我们可以知道 $g_n$ 肯定是最小的而且是 $0$ ，然后剩下第二小的只会受到 $g_n$ 的影响，也就是这个里面有一个的 $g$ 是完整的。

可以猜测这个第二小的肯定是剩下的 $g$ 里面最小的那个，因为如果不是，那么显然不满足我们最小化的条件，从一个更大的走到了本应该可以更小的。

所以我们每次剩下的点中找到一个最小的 $\frac{g_{j}}{\prod_{g_k<g_j}(1-p_{j,k})}$ 来更新它对其他点的影响即可。

时间复杂度 $O(n^2)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100;
int n;bool v[N];
double p[N][N],prod[N],f[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&p[i][j]);
			p[i][j]/=100.0;
		}
	}
	if(n==1)return puts("0")&0;
	for(int i=1;i<n;i++)
		prod[i]=1-p[i][n],f[i]=1;
	v[n]=1;
	while(1){
		double low=1e9;int x;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(f[i]/(1-prod[i])<low&&!v[i])
				low=f[i]/(1-prod[i]),x=i;
		if(x==1)return printf("%.10lf",low)&0;
		v[x]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(v[i])continue;
			f[i]+=low*p[i][x]*prod[i];
			prod[i]*=(1-p[i][x]);
		}
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14409559.html
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