YbtOJ#903-染色方案【拉格朗日插值,NTT,分治】

1|0正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/115/problem/3

1|1题目大意

两个长度为 $n+1$ 的序列 $a,b$
$a_i$ 表示涂了 $i$ 个格子的可以获得的价值。
$b_i$ 表示恰好用 $i$ 种颜色图最多 $n$ 个格子可以获得的总价值。

给出序列 $b$ ，求序列 $a$

$n\in[1,10^5]$ ，所有运算在 $\% 998244353$ 意义下。

1|2解题思路

定义 $c_i$ 表示用 $i$ 种颜色（不需要都用）时的价值和
那么有

c_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) b_{i}

$c_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}b_i$

c_{n} = n! \sum_{i = 0}^{n} \frac{b_{i}}{i!} \frac{1}{(n - i)!}

$c_n=n!\sum_{i=0}^n\frac{b_i}{i!}\frac{1}{(n-i)!}$

然后 $NTT$ 求出来。
之后就有

c_{i} = \sum_{j = 0}^{n} a_{j} \times i^{j}

$c_i=\sum_{j=0}^na_j\times i^j$

那么 $c_i$ 可以视为一个多项式在 $x=i$ 处的值，然后 $a_i$ 表示该多项式的第 $i$ 项系数。

之后要用拉格朗日插值求出这个多项式 $A$ （考场上不会写了个高消草）

A (x) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} \prod_{j! = i} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

$A(x)=\sum_{i=1}^nc_i\prod_{j!=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

提出常数来，令 $c_i=c_i\times \prod_{j!=i}\frac{1}{x_i-x_j}$ （预处理一个阶乘逆元可以 $O(1)$ 求）
再定义多项式 $M(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)$

A (x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{c_{i} M (x)}{x - x_{i}}

$A(x)=\sum_{i=1}^n\frac{c_iM(x)}{x-x_i}$

但是还是不可以暴力求，但是我们可以分治求。

M_{l, r} (x) = \prod_{i = l}^{r} (x - x_{i}), A_{l, r} (x) = \sum_{i = l}^{r} \frac{c_{i} M_{l, r} (x)}{x - x_{i}}

$M_{l,r}(x)=\prod_{i=l}^r(x-x_i),A_{l,r}(x)=\sum_{i=l}^r\frac{c_iM_{l,r}(x)}{x-x_i}$

那么有

M_{l, r} = M_{l, m i d} \times M_{m i d + 1, r}

$M_{l,r}=M_{l,mid}\times M_{mid+1,r}$

A_{l, r} = A_{l, m i d} \times M_{m i d + 1, r} + A_{m i d + 1, r} \times M_{l, r}

$A_{l,r}=A_{l,mid}\times M_{mid+1,r}+A_{mid+1,r}\times M_{l,r}$

都分治下去 $NTT$ 做就好了，注意一下动态分配空间就好了。

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct Poly{
	ll a[N],n;
}A[40],M[40],F,G;
ll n,fac[N],inv[N],c[N],r[N];
ll x[N],y[N],tmp1[N],tmp2[N];
bool v[40];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
ll mul(Poly &F,Poly &G,ll *f){
	for(ll i=0;i<=F.n;i++)x[i]=F.a[i];
	for(ll i=0;i<=G.n;i++)y[i]=G.a[i];
	ll l=1;while(l<=F.n+G.n+2)l<<=1;
	for(ll i=F.n+1;i<l;i++)x[i]=0;
	for(ll i=G.n+1;i<l;i++)y[i]=0;
	for(ll i=0;i<l;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);
	NTT(x,l,1);NTT(y,l,1);
	for(ll i=0;i<l;i++)f[i]=x[i]*y[i]%P;
	NTT(f,l,-1);return F.n+G.n;
}
ll find_q(){
	for(ll i=0;i<40;i++)
		if(!v[i]){v[i]=1;return i;}
}
ll solve(ll l,ll r){
	ll p=find_q();
	if(l==r){
		A[p].a[0]=c[l];A[p].n=0;
		M[p].a[1]=1;M[p].a[0]=P-l;M[p].n=1;
		return p;
	}
	ll mid=(l+r)>>1;
	ll ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);
	ll len=mul(A[ls],M[rs],tmp1);mul(A[rs],M[ls],tmp2);
	M[p].n=mul(M[ls],M[rs],M[p].a);A[p].n=len;
	for(ll i=0;i<=len;i++)A[p].a[i]=(tmp1[i]+tmp2[i])%P;
	v[ls]=v[rs]=0;return p;
}
signed main()
{
//	freopen("color.in","r",stdin);
//	freopen("color.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);F.n=G.n=n;
	fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=power(fac[i],P-2);
	for(ll i=0;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&F.a[i]);
		F.a[i]=F.a[i]*inv[i]%P;
		G.a[i]=inv[i]%P;
	}
	mul(F,G,c);
	for(ll i=0;i<=n;i++){
		c[i]=c[i]*fac[i]%P;
		c[i]=c[i]*inv[i]%P*inv[n-i]%P;
		if((n-i)&1)c[i]=P-c[i];
	}
	ll p=solve(0,n);
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		printf("%lld ",A[p].a[i]);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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