P4859-已经没有什么好害怕的了【容斥,dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859

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1|1题目大意

两个长度为$n$的序列$a,b$两两匹配，求$a_i>b_i$的组数比$a_i<b_i$的组数多$k$的方案数。
保证输入数字两两不同

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1|2解题思路

其实就是求恰好有$\frac{n+k}{2}$种$a_i>b_i$的匹配方案。

先设$f_{i,j}$表示到$a$的第$i$个，已经选择了$j$组的方案。转移起来比较麻烦，我们不知道$b$中选了哪些。

把$a$和$b$排序后，设$l_i$表示一个最大的数字使得$a_i>b_{l_i}$，然后就可以$dp$了

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times(l_i-j+1)$$

之后发现我们很难固定其他配对的大小，可以考虑容斥，设$g_i$表示至少有$i$对满足$a_i>b_i$的方案，那么有$g_i=f_i\times (n-i)!$。
然后就可以直接容斥了，因为$g_i$中有$\binom{i}{k}$中方案选出$k$个配对满足，所以容斥系数就是$(-1)^{i-k}\binom{i}{k}$
答案就是

$$\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}g_i$$

时间复杂度$O(n^2)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+9;
ll n,k,C[N][N],a[N],b[N],f[N][N],g[N],l[N],ans;
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    if((n+k)&1)return puts("0")&0;
    k=(n+k)/2;C[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
    sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);
    for(ll i=1;i<=n;i++)   
        for(ll j=1;j<=n;j++)
            if(b[j]<a[i])l[i]=j;
            else break;
    f[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=n;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+(j?f[i-1][j-1]*max(l[i]-j+1,0ll)%P:0))%P;
    for(ll i=n,s=1;i>=0;i--,s=s*(n-i)%P)g[i]=f[n][i]*s%P;
    for(ll i=k;i<=n;i++){
        ll tmp=g[i]*C[i][k]%P;
        (ans+=((i-k)&1)?P-tmp:tmp)%=P;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14331161.html
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