P3235-[HNOI2014]江南乐【整除分块,SG函数】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3235
题目大意
\(T\)组游戏,固定给出\(F\)。每组游戏有\(n\)个石头,每次操作的人可以选择一个数量不少于\(F\)的石堆并把它尽量均摊成\(M\)堆\((M>1)\)。无法操作的人输,求每组游戏是否先手必胜。
解题思路
每个石头之间互不影响,所以求出它们的\(SG\)函数然后异或起来就好了。
设\(sg_i\)表示\(i\)个石头的\(SG\)函数,然后暴力的想法是枚举\(M\)然后求答案,但是这样显然过不了。
发现对于一个\(M\)和石头数量\(n\),能产生\(n\%M\)个大小\(\lfloor\frac{n}{M}\rfloor+1\)的石头堆和\(M-n\% M\)个大小\(\lfloor\frac{n}{M}\rfloor\)的石头堆。
额,好像就可以整除分块了。每次整除分块出来的一个区间\([l,r]\),如果\(l=r\)直接计算。
如果\(l\neq r\)的情况好像比较麻烦,其实只需要考虑\(l\)和\(l+1\)就好了,因为如果再往后的奇偶性就会重复。
时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int T,F,cnt,cl[N],sg[N];
bool v[N];
void add(int x)
{if(!v[x])cl[++cnt]=x;v[x]=1;return;}
void clear(){
while(cnt)v[cl[cnt]]=0,cnt--;
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&F);
for(int i=F;i<N;i++){
for(int l=2,r;l<=i;l=r+1){
r=i/(i/l);
int k=i%l,p=i/l,q=p+1;
if((k&1)&&((l-k)&1))add(sg[p]^sg[q]);
else if((k&1)&&!((l-k)&1))add(sg[q]);
else if(!(k&1)&&((l-k)&1))add(sg[p]);
else add(0);
if(l!=r){
l++;k=i%l;
if((k&1)&&((l-k)&1))add(sg[p]^sg[q]);
else if((k&1)&&!((l-k)&1))add(sg[q]);
else if(!(k&1)&&((l-k)&1))add(sg[p]);
else add(0);
}
}
while(v[sg[i]])sg[i]++;
clear();
}
while(T--){
int n,ans=0;
scanf("%d",&n);
while(n--){
int x;scanf("%d",&x);
ans^=sg[x];
}
if(ans)printf("1 ");
else printf("0 ");
}
return 0;
}