51nod1355-斐波那契的最小公倍数【min-max容斥】

1|0正题

题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1355

1|1题目大意

定义 $f_i$ 表示斐波那契的第 $i$ 项，给出一个大小为 $n$ 的集合 $S$ 求 $lcm(f_S)$

1|2解题思路

如果每个质数的次数分开考虑，那么 $gcd$ 就是次数取 $min$ ， $lcm$ 就是次数取 $max$ ，所以可以套用 $min-max$ 容斥的式子

l c m (S) = \prod_{T \subseteq S} g c d (T)^{(- 1)^{| T | + 1}}

$lcm(S)=\prod_{T\subseteq S}gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}$

然后因为 $gcd(f_x,f_y)=f_{gcd(x,y)}$ ，那么这题的答案

l c m (f_{S}) = \prod_{T \subseteq S} f_{g c d (T)}^{(- 1)^{| T | + 1}}

$lcm(f_S)=\prod_{T\subseteq S}f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}$

这个好像算起来很麻烦，我们可以分开考虑每个 $gcd$ 的贡献。
定义 $f_n=\prod_{d|n}g_d$

l c m (f_{S}) = \prod_{T \subseteq S} {(\prod_{d | g c d (T)} g_{d})}^{(- 1)^{| T |} + 1}

$lcm(f_S)=\prod_{T\subseteq S}\left(\prod_{d|gcd(T)}g_d\right)^{(-1)^{|T|}+1}$

l c m (f_{S}) = \prod g_{d}^{\sum_{T \subseteq S} [d | g c d (T)] (- 1)^{| T | + 1}}

$lcm(f_S)=\prod g_d^{\sum_{T\subseteq S}[d|gcd(T)](-1)^{|T|+1}}$

然后就是 $\sum_{T\subseteq S}[d|gcd(T)](-1)^{|T|+1}$ ，因为没有了空集，这个东西其实就相当于 $[\exists a_i\in S,d|a_i]$ 。然后就可以直接枚举每个 $d$ 来求答案了。

l c m (f_{S}) = \prod_{\exists a_{i} \in S, d | a_{i}} g_{d}

$lcm(f_S)=\prod_{\exists a_i\in S,d|a_i} g_d$

考虑 $g$ 怎么构造，我们有 $f_n=\prod_{d|n}g_d$ ，直接移项就是 $g_n=f_n-\prod_{d|n,d\neq n}g_d$ 就好了。

时间复杂度 $O(n\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,g[N],ans;
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);g[1]=ans=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ll x;scanf("%lld",&x);
        m=max(m,x);v[x]=1;
    }
    for(ll i=2;i<=m;i++)g[i]=(g[i-1]+g[i-2])%P;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        ll inv=power(g[i],P-2);
        for(ll j=2*i;j<=m;j+=i)
            g[j]=g[j]*inv%P;
    }
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        bool flag=0;
        for(ll j=i;j<=m;j+=i)
            if(v[j]){flag=1;break;}
        if(flag)ans=(ans*g[i])%P;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14324613.html
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