P4590-[TJOI2018]游园会【dp套dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4590

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题目大意

给出一个长度为\(m\)的字符串\(s\)。
对于每个\(k\in[0,m]\)求有多少个长度为\(n\)的字符串满足与\(s\)的最长公共子序列长度为\(k\)且不包含\(NOI\)这一个子串。
可用字符集是\(\{N,O,I\}\)

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解题思路

显然这个\(NOI\)的限制是很无聊的，先不管。

然后就是求最长公共子序列恰好为\(k\)，之前翻资料的时候看到过这题，然后\(m\)又只有\(15\)，所以可以直接\(dp\)套\(dp\)。

先考虑正常\(dp\)求最长公共子序列，就是设\(g_{i,j}\)表示第一个串匹配到\(i\)，第二个串匹配到\(j\)时的长度。那么显然对于一个\(i\)来说是可以对应多个\(j\)的。
然后我们要在转移\(dp\)的自动机上对于\(i\)维护每个\(g_{i,j}\)？

虽然\(m\)很小但是这个状态还是很多，要加点优化。挖掘一下\(g\)数组的性质发现其实有\(g_{i,j-1}\leq g_{i,j}\leq g_{i,j-1}+1\)。所以可以状压一下，用\(1\)表示这里加了\(1\)，\(0\)表示没有加一就可以表示出所有的状态了。

然后先预处理出每个状态加某个字符之后会转移到哪个状态\(nxt_{s,c}\)，然后设\(f_{i,s}\)表示现在已经有\(i\)个字符，\(dp\)数组状态为\(j\)时的方案数，然后转移就好了。

之后\(NOI\)那个限制多开一维来维护就好了，要滚动不然会炸。

时间复杂度\(O(2^mn)\)，然后因为要判\(NOI\)所以常数比较大。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100,M=16,P=1e9+7;
const int d[3][3]={{1,0,0},{1,2,0},{1,0,3}};
int n,m,f[3][1<<M][3] ,ans[M];
int a[M],g[1<<M],h[1<<M],nxt[1<<M][3];
char s[M];
int ct(int x){
    int ans=0;
    while(x)x-=(x&-x),ans++;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(s[i]=='O')a[i]=1;
        if(s[i]=='I')a[i]=2;
    }
    int MS=(1<<m);
    for(int s=0;s<MS;s++){
        for(int i=1;i<=m;i++)
            g[i]=g[i-1]+((s>>i-1)&1);
        for(int c=0;c<3;c++){
            for(int i=1;i<=m;i++){
                h[i]=max(h[i-1],g[i]);
                if(a[i]==c)h[i]=max(h[i],g[i-1]+1);
                if(h[i]>h[i-1])nxt[s][c]|=(1<<i-1);
            }
        }
    }
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));
        for(int s=0;s<MS;s++){
            for(int t=0;t<3;t++){
                for(int c=0;c<3;c++){
                    if(t==2&&c==2)continue;
                    int z=d[t][c];
                    (f[i&1][nxt[s][c]][z]+=f[~i&1][s][t])%=P;
                }
            }
        }
    }
    for(int s=0;s<MS;s++)
        for(int t=0;t<3;t++)
            (ans[ct(s)]+=f[n&1][s][t])%=P;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}