CF917D-Stranger Trees【矩阵树定理,高斯消元】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树,对于每个\(k\)求有多少个\(n\)个点的树满足与给出的树恰好有\(k\)条边重合。
解题思路
矩阵树有一个统计所有树边权和的和用法,就是把变量变成一个形如\(wx+1\)的多项式,这样一次项系数的值就表示了固定选择一条边的\(w\)时其他边的方案数之和。
这题我们可以同理,对于在给出数上的边是\(x\),而其他就是\(1\)。那么最后询问\(x^k\)的系数就是答案了。
如果暴力套\(\text{NTT}\)不仅麻烦,而且跑的很慢过不了本题,考虑另一种求系数的方法。
我们假设答案是一个形如\(F(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\)的\(n\)次项式,那么我们如果把\(n\)个\(x\)的值直接带入求出\(F\),然后用待定系数法的话我们就可以列出\(n\)个方程从而解出这个\(n\)项式的每一个系数。
时间复杂度\(O(n^4)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110,P=1e9+7;
ll n,x[N],y[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
namespace Guass{
ll a[N][N],b[N];
void solve(){
for(ll i=1;i<=n;i++){
ll z=i;
for(ll j=i;j<=n;j++)
if(a[j][i]){z=j;break;}
swap(a[i],a[z]);swap(b[i],b[z]);
ll inv=power(a[i][i],P-2);
for(ll j=i;j<=n;j++)
a[i][j]=a[i][j]*inv%P;
b[i]=b[i]*inv%P;
for(ll j=i+1;j<=n;j++){
ll rate=P-a[j][i];
for(ll k=i;k<=n;k++)
(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;
(b[j]+=rate*b[i]%P)%=P;
}
}
for(ll i=n;i>=1;i--){
for(ll j=i+1;j<=n;j++)
(b[i]+=P-b[j]*a[i][j]%P)%=P;
}
return;
}
}
namespace Matrix{
ll a[N][N];
ll det(){
ll f=1,ans=1;
for(ll i=1;i<n;i++){
ll z=i;
for(ll j=i;j<n;j++)
if(a[j][i]){
if(j!=i)f=-f;
z=j; break;
}
swap(a[i],a[z]);
ll inv=power(a[i][i],P-2);
ans=ans*a[i][i]%P;
for(ll j=i;j<n;j++)
a[i][j]=a[i][j]*inv%P;
for(ll j=i+1;j<n;j++){
ll rate=P-a[j][i];
for(ll k=i;k<n;k++)
(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;
}
}
return ans*f;
}
void solve(ll w){
for(ll i=1;i<=n;i++)
for(ll j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=P-1;
for(ll i=1;i<=n;i++)a[i][i]=n-1;
for(ll i=1;i<n;i++){
a[x[i]][x[i]]+=w-1;
a[y[i]][y[i]]+=w-1;
a[x[i]][y[i]]=P-w;
a[y[i]][x[i]]=P-w;
}
Guass::b[w]=det();
for(ll i=1,p=1;i<=n;i++,p=p*w%P)
Guass::a[w][i]=p;
return;
}
}
signed main(){
scanf("%lld",&n);
for(ll i=1;i<n;i++)
scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
for(ll i=1;i<=n;i++)Matrix::solve(i);
Guass::solve();
for(ll i=1;i<=n;i++)
printf("%lld ",Guass::b[i]);
return 0;
}