P6097-[模板]子集卷积

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6097

---

1|1题目大意

长度为$2^n$的序列$a,b$求一个$c$满足

$$c_k=\sum_{i|j=k,i\&j=\varnothing}a_i\times b_j$$

---

1|2解题思路

从炫酷反演魔术过来的，顺便写掉这题

简单的说就是求$k$的所有子集和其补集的乘积和。
只有$i|j=k$的话就是普通的$\text{FWT}$了，但是还有$i\&j=\varnothing$这个东西。
一个巧妙的想法是把这个条件转换为$|i|+|j|=|i\cup j|$，显然两个之间是充要的。
然后可以把$a_i$存在$f_{ct(i),i}$这个位置，其中$ct(i)$表示$i$中$1$的个数。同理$b_i$存在$g_{ct(i),i}$这个位置。

然后就有卷积

$$h_{a,b}=\sum_{i+j=a,x|y=b}f_{i,x}\times g_{j,y}$$

这个先暴力$\text{FWT}$了$f,g$然后暴力卷积然后$\text{IFWT}$回去就好了。

时间复杂度$O(n^22^n)$，不能全开$\text{long long}$不然会$\text T$的

---

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=1e9+9;
int n,k,ct[1<<N],f[N][1<<N],g[N][1<<N],h[N][1<<N];
void FWT(int *f,int op){
    for(int p=2;p<=n;p<<=1)
        for(int k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)
            for(int i=k;i<k+len;i++)
                (f[i+len]+=(f[i]*op+P)%P)%=P;
    return;
}
signed main()
{
    // printf("%d",sizeof(f)>>20);
    scanf("%d",&k);n=(1<<k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i)ct[i]=ct[i-(i&-i)]+1;
        scanf("%d",&f[ct[i]][i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&g[ct[i]][i]);
    for(int i=0;i<=k;i++)
        FWT(f[i],1),FWT(g[i],1);
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            for(int x=0;x<n;x++)
                (h[i][x]+=1ll*f[j][x]*g[i-j][x]%P)%=P;
    for(int i=0;i<=k;i++)FWT(h[i],-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",h[ct[i]][i]);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14303375.html
关于博主：退役OIer，GD划水选手
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！