P5631-最小mex生成树【线段树,并查集】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5631
题目大意
\(n\)个点\(m\)条边的一张图,求\(mex\)值最小的一棵生成树。
解题思路
考虑比较暴力的做法,枚举答案,然后判断其他边能否构成一棵生成树。
发现一条边会被重复加入多次,可以考虑不删除其他不动的边。
具体方法在线段树上,对于边权为\(w\)的边,每次把\(w\)丢到\([1,w-1]\cup[w+1,\infty]\)这个区间。
然后在线段树上往下走,维护一个不压缩路径但是按秩合并的可撤销堆,每次走到一个节点就把这个节点上的边加入,离开的时候就撤销掉。这样到叶节点时判断是否是一棵生成树就好了。
时间复杂度\(O(n\log n\log w)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=1e6+10,L=1e5+2;
struct line{
int x,y;
}cl[N];
int n,m,cnt,fa[N],siz[N];
vector<line> v[N<<1];
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int find(int x)
{return (fa[x]==x)?x:find(fa[x]);}
void unionm(int x,int y){
x=find(x);y=find(y);
if(x==y)return;
if(siz[x]<siz[y])swap(x,y);
cl[++cnt]=(line){x,y};
siz[x]+=siz[y];fa[y]=x;
return;
}
void clear_to(int w){
while(cnt>w){
int x=cl[cnt].x,y=cl[cnt].y;
siz[x]-=siz[y];fa[y]=y;cnt--;
}
return;
}
void Change(int x,int L,int R,int l,int r,line w){
if(L==l&&R==r){v[x].push_back(w);return;}
int mid=(L+R)>>1;
if(r<=mid)Change(x*2,L,mid,l,r,w);
else if(l>mid)Change(x*2+1,mid+1,R,l,r,w);
else Change(x*2,L,mid,l,mid,w),Change(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,w);
return;
}
int Solve(int x,int l,int r){
int top=cnt;
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
unionm(v[x][i].x,v[x][i].y);
if(l==r){
if(cnt==n-1)
return l;
clear_to(top);
return 0;
}
int mid=(l+r)>>1,k;
if(k=Solve(x*2,l,mid))return k;
if(k=Solve(x*2+1,mid+1,r))return k;
clear_to(top);
return 0;
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,siz[i]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=read(),y=read(),w=read()+1;
if(w!=1)Change(1,1,L,1,w-1,(line){x,y});
if(w!=L)Change(1,1,L,w+1,L,(line){x,y});
}
printf("%d\n",Solve(1,1,L)-1);
return 0;
}