P4980-[模板]Pólya定理

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

1|1题目大意

$n$ 个物品图上 $m$ 种颜色，求在可以旋转的情况下本质不同的涂色方案。

1|2解题思路

既然是群论基本题就顺便写一下刚刚了解到的相关知识把（顺便消磨一下时间

一个群 $(G,\times )$ 定义为一个在运算 $\times$ 下满足以下条件的集合

封闭性：若存在 $a,b\in G$ 那么有 $a\times b\in G$
交换律：若有 $a,b,c\in G$ 那么有 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
单位元：群中 $\exists e\in G$ 满足 $\forall x\in G$ 都有 $x\times e=x$
逆元：对于 $\forall x\in G$ 都有一个唯一元素 $y\in G$ 且 $x\times y=e$

然后中间一些东西很多很杂这里不多说了，直接到置换部分。

一般来说规定置换第一行为 $(1,2,3...)$ ，那么定义一个置换 $\sigma=(g_1,g_2,g_3,...)$ 。如果一个置换作用与一个排列 $a$ ，一般写为 $\sigma(a)=b$ 的话，就有 $b_i=a_{g_i}$ 。需要注意的是对于一个置换两次后相当与使用了另一个置换。（也就是置换只能生效一次

然后就是 $\text{Burnside}$ 引理了，对于一个置换群 $G$ ，若 $G$ 作用与一个集合 $X$ 时，集合 $X$ 中本质不同的元素个数为

\frac{1}{| G |} \sum_{f \in G} C (f)

$\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}C(f)$

其中 $C(f)$ 表示 $X$ 的所有元素中对于置换 $f$ 的不动点数量。

而 $\text{Polya}$ 定理就是建立在 $\text{Burnside}$ 引理上的，对于一个置换 $f$ ，定义它的循环节数量为 $T(f)$ ，用 $m$ 种颜色染色时方本质不同的染色方案数就是

\frac{1}{| G |} \sum_{f \in G} m^{T (f)}

$\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}m^{T(f)}$

也就是 $m^{T(f)}=C(f)$ ，这个很显然，因为每个循环节涂成一种颜色就是一个不动点。

回到这题的旋转来，我们可以将其视为 $n$ 个不同的置换构成的一个置换群。对于旋转 $i$ 步，它的循环节数量就是 $gcd(n,i)$ ，也就是我们要求

\frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} m^{g c d (n, i)}

$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}m^{gcd(n,i)}$

枚举一下 $gcd(n,i)$

\frac{1}{n} \sum_{d | n} m^{d} \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}} [g c d (\frac{n}{d}, i) == 1]

$\frac{1}{n}\sum_{d|n}m^d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{n}{d},i)==1]$

哦对啊好像有 $m=n$

\frac{1}{n} \sum_{d | n} n^{d} φ (\frac{n}{d}) = \sum_{d | n} n^{d - 1} φ (\frac{n}{d})

$\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}n^{d-1}\varphi(\frac{n}{d})$

这个时间复杂度大概是 $O(Tn^{\frac{3}{4}})$ 的，但是因为约数个数远到不了 $\sqrt n$ 所以你可以把它视为常数比较大的 $O(T\sqrt n)$ ？

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll T,n,ans;
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll x){
    ll ans=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i)continue;
        while(x%i==0)x/=i;
        ans=ans/i*(i-1);
    }
    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
ll calc(ll x)
{return phi(x)*power(n,n/x-1)%P;}
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);ans=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i)continue;
            ans=(ans+calc(i))%P;
            if(i*i!=n)ans=(ans+calc(n/i))%P;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;   
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14269213.html
关于博主：退役OIer，GD划水选手
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！