P3515-[POI2011]Lightning Conductor【整体二分,决策单调性】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3507

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题目大意

\(n\)个数字的一个序列\(a\)，对于每个位置\(i\)求一个\(p_i\)使得对于任意\(j\)满足

\[p_i+a_i-\sqrt{|i-j|}\geq p_j \]

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解题思路

化简一下发现我们是需要求出\(max\{\sqrt{|i-j|}+p_j\}\)

分成两次去掉绝对值。
因为这个根号的性质是增长的越来越小，那么对于一个位置\(i\)若它的\(max\)值位置为\(j\)，那么\(i+1\)就一定不小于\(j\)。

利用这个单调性来优化，我们每次直接对于区间正中间\(mid\)暴力求出它的答案\(pos\)，那么\([l,mid-1]\)的答案就在\([L,pos]\)，而\([mid+1,r]\)的答案就在\([pos,R]\)。

然后递归下去就好了。时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
ll n;double a[N],f[N],sqr[N];
stack<ll> s;
double count(ll i,ll j)
{return a[j]+sqr[abs(j-i)];}
void CDQ(ll l,ll r,ll L,ll R){
    if(l>r)return;
    ll mid=(l+r)>>1,pos=L;
    double tmp=count(mid,L);
    for(int i=L+1;i<=R&&i<=mid;i++)
        if(count(mid,i)>tmp)
            pos=i,tmp=count(mid,i);
    f[mid]=max(tmp,f[mid]);
    CDQ(l,mid-1,L,pos);CDQ(mid+1,r,pos,R);
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&a[n-i+1]);
        sqr[i]=sqrt((double)i);
    }
    CDQ(1,n,1,n);
    for(ll i=1;n-i+1>i;i++)
        swap(a[i],a[n-i+1]),swap(f[i],f[n-i+1]);
    CDQ(1,n,1,n);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld\n",(ll)ceil(f[i]-a[i]));
    return 0;
}