P4351-[CERC2015]Frightful Formula【组合数学,MTT】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4351

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1|1题目大意

$n*n$的矩形，给出第一行和第一列的数，剩下的满足$F_{i,j}=a*F_{i,j-1}+b*F_{i-1,j}+c$

求$F_{n,n}$

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1|2解题思路

第一眼看以为是水题，因为给出的数字的贡献通过组合数很好算，但是后来发现麻烦的是那个$c$。我们考虑每个格子的$c$产生的贡献。

下面为了方便我们先默认让所有格子横纵坐标减$1$
对于一个格子$(i,j)$，通过它的路径有$\binom{2n-i-j}{n-i}$种，然后产生的贡献是$a^{n-i}b^{n-j}$。为了方便我们反过来表示，然后因为第一行第一列没有贡献所以$n$减一。
那么总共的贡献就是

$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na^ib^i\binom{i+j}{i}$$

然后因为有$i+j$很麻烦，考虑枚举$i+j$就有

$$\sum_{i=0}^{2n}\sum_{j=max\{0,i-n\}}^{min\{i,n\}}a^jb^{i-j}\frac{(i+j)!}{j!(i-j)!}$$

把$(i+j)!$拿出去就是一个卷积的形式了，模数比较丑所以要用$MTT$来做。（除了$MTT$部分全部自己推？）。

记得要预处理单位根，不然会被卡精度，时间复杂度$O(n\log n)$（常数巨大）

好像有更简单的做法就是用一个$x$满足$ax+bx+c=x$的来消掉$c$这个元就可以直接做了，但是我不会。

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
const ll N=2e6+10,P=1e6+3;
ll n,a,b,c,ans,F[N],H[N],G[N];
ll inv[N],fac[N],r[N],apw[N],bpw[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
namespace Poly{
    const ll seq=32768;
    struct complex{
        double x,y;
        complex(double xx=0,double yy=0)
        {x=xx;y=yy;}
    }A[N],B[N],C[N],D[N],w[N];
    complex operator+(complex a,complex b)
    {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    complex operator-(complex a,complex b)
    {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    complex operator*(complex a,complex b)
    {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
	void FFT(complex *f,ll n,ll op){
        for(ll i=0;i<n;i++)
            if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
        for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
            ll len=p>>1;
            for(ll k=0;k<n;k+=p){
                for(ll i=k;i<k+len;i++){
                	complex tmp=w[n/len*(i-k)];
                	if(op==-1)tmp.y=-tmp.y;
                    complex tt=f[i+len]*tmp;
                    f[i+len]=f[i]-tt;
                    f[i]=f[i]+tt;
                }
            }
        }
        if(op==-1){
            for(ll i=0;i<n;i++)
                f[i].x=fabs(f[i].x/n+0.5);
        }
        return;
    }
    void MTT(ll *a,ll *b,ll *c,ll n,ll m){
        ll l=1;
        while(l<=n+m)l<<=1;
        for(ll i=0;i<l;i++)
            r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);
        for (ll k=1;k<l;k<<=1)
    		for (ll i=0;i<k;i++)
    			w[l/k*i]=(complex){cos(i*Pi/k),sin(i*Pi/k)};
        for(ll i=0;i<n;i++)A[i].x=a[i]/seq,B[i].x=a[i]%seq;
        for(ll i=0;i<m;i++)C[i].x=b[i]/seq,D[i].x=b[i]%seq;
        FFT(A,l,1);FFT(B,l,1);FFT(C,l,1);FFT(D,l,1);
        complex t1,t2;
        for(ll i=0;i<l;i++){
            t1=A[i]*C[i];t2=B[i]*D[i];
            B[i]=A[i]*D[i]+B[i]*C[i];
            A[i]=t1;C[i]=t2;
        }
        FFT(A,l,-1);FFT(B,l,-1);FFT(C,l,-1);
        for(ll i=0;i<l;i++){
            c[i]=(c[i]+(ll)(A[i].x)*seq%P*seq%P)%P;
            c[i]=(c[i]+(ll)(B[i].x)*seq%P)%P;
            c[i]=(c[i]+(ll)(C[i].x))%P;
        }
        return;
    }
}
void init(){
    inv[1]=1;apw[0]=bpw[0]=1;
    for(ll i=1;i<=2*n;i++)
        apw[i]=apw[i-1]*a%P,bpw[i]=bpw[i-1]*b%P;
    for(ll i=2;i<=2*n;i++)
        inv[i]=(P-(P/i)*inv[P%i]%P)%P;
    inv[0]=fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=2*n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%P;
        inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
    }
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
    init();n--;
    for(ll i=0;i<=n;i++){
        ll x;scanf("%lld",&x);
        if(!i)continue;
        x=x*bpw[n-i]%P*apw[n]%P;
        (ans+=x*C(n+n-i-1,n-1)%P)%=P;
    }
    for(ll i=0;i<=n;i++){
        ll x;scanf("%lld",&x);
        if(!i)continue;
        x=x*apw[n-i]%P*bpw[n]%P;
        (ans+=x*C(n+n-i-1,n-1)%P)%=P;
    }//处理已知数列

    for(ll i=0;i<n;i++){
        F[i]=apw[i]*inv[i]%P;
        H[i]=bpw[i]*inv[i]%P;
    }
    Poly::MTT(F,H,G,n,n);
    for(ll i=0;i<2*n-1;i++)
        (ans+=G[i]*c%P*fac[i]%P)%=P;
//    for(ll i=0;i<=n;i++){
//        (ans+=P-apw[n-i]*bpw[n]%P*c%P*C(n+n-i,n)%P)%=P;
//		if(!i)continue;
//        (ans+=P-bpw[n-i]*apw[n]%P*c%P*C(n+n-i,n)%P)%=P;
//    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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