详解时间、空间复杂度（内含彩蛋~~）
学习算法我们首先需要清楚的概念就是时间复杂度和空间复杂度
接下来我们就详细讲解一下时间复杂度和空间复杂度，为大家后面的学习打好基础！
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一、时间复杂度：执行算法所需要的计算工作量
（一）时间复杂度的理解
1.时间频度定义
我们需先明白：
一个 算法花费的时间 是与算法中语句的执行次数成正比的
（也就是说一个算法中语句执行次数越多，花费的时间也就越多）
时间频度：T(n)： 一个算法中的语句执行次数，记为T(n)
2.（渐进）时间复杂度定义
T(n)： 算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数。
f(n)： 某个辅助函数
算法的（渐进）时间复杂度O(f(n))：
若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
O(f(n)) 表示方法称为大O表示法
注意： T(n)不同，但时间复杂度可能相同。
（二）时间复杂度的计算
计算攻略：
- 用常数1代替运行时间中的所有加法常数。
| (1) T(n)=n2+7n+6 ⇒ T(n)=n2+7n+1 |
|---|
- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
| (2)T(n)=n2+7n+1 ⇒ T(n)=n2 |
|---|
- 去除最高项系数
| (3)T(n)=n2 ⇒ O(n2 ) |
|---|
注意：
（1）循环的时间复杂度 = 循环体的复杂度 × 该循环运行次数
（2）单纯的分支结构（不包括在循环结构中）其时间复杂度为O(1)
常见的算法时间复杂度由小到大排序：
| 常见的算法时间复杂度由小到大依次为： |
|---|
| O(1):常数阶 |
| O(logan)【O(log2n)】：对数阶 |
| O(n):线性阶 |
| O(nlogan)【O(nlog2n)】：线性对数阶 |
| O(n2):平方阶 |
| O(n3):立方阶 |
| O(nk):k次方阶 |
| O(2n):指数阶 |
| 随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度越来越大大，算法的执行效率也越来越低 |
大O表示法推导实例：
1.常数阶 ⇒ O(1)
int n =100;//执行1次
int sum =n*2;//执行1次
System.out println(sum);//执行1次
你可能会问代码一共执行了3次鸭，为什么时间复杂度不是O(3)呢？
这是因为用到了第一条攻略：用常数1代替运行时间中的所有加法常数。
本题中:T(n)=3根据第一条攻略：
| (1) T(n)=3 ⇒ T(n)=1 |
|---|
| (2) T(n)=1 ⇒ O(1) |
2.线性阶 ⇒ O(n)
int i= 0,sum=0;
for(i=0;i<n;i++){//for循环执行n次
sum=2*i;//执行一次for循环此语句执行一次
System.out.println(sum);//执行一次for循环此语句执行一次
}
所以：T(n)=2n
第三条攻略： 去除最高项系数
本例中根据第三条攻略可得：
| (1) T(n)=2n ⇒ T(n)=n |
|---|
| (2) T(n)=n ⇒ O(n) |
3.平方阶 ⇒ O(n2)
例1：
int i,j=0;
for(i=0;i<n;i++){//执行n次
for(j=0;j<n;j++){//执行n次
System.out.println(i + " " + j );
}
}
所以：T(n)=n2
| T(n)=n 2 ⇒ O(n2) |
|---|
 |
例2：
int i,j=0;
for(i=0;i<n;i++){//执行n次
for(j=i;j<n;j++){//注意j=i
System.out.println(i + " " + j );
}
}
当i=0，第二个for循环执行n次
当i=1，第二个for循环执行n-1次
当i=2，第二个for循环执行n-2次
当i=n-1，第二个for循环执行1次
执行总数T(n)=n+(n-1)+(n-2)+……1=
+
=
(n 2+n)
根据第二条攻略、第三条攻略可得：
第二条攻略：修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
第三条攻略： 去除最高项系数
| T(n)=(n 2+n) ⇒ T(n)=n 2 |
|---|
| T(n)=n 2 ⇒ O(n2) |
二、 空间复杂度：执行这个算法所需要的内存空间
空间复杂度：
对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。
n为问题的规模，f(n)为算法所占存储空间的函数。
空间复杂度分类：
O(1)情况：
当算法的存储空间大小固定，与输入规模没有直接的关系时，空间复杂度记作O(1)。
O(n)情况：
当算法分配的空间和输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n)。
三、彩蛋
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