数学建模方法-遗传算法(实战篇part 2)
一、引言
在上一个篇章中，我们用遗传算法来计算一个一元函数的最大值，但是，有人会讲，这样是不是有些大材小用了，明明我可以用更少的代码来实现求最大值的功能。确实，将遗传算法用在那里确实大材小用了，但是，博主的目的并不是为求最大值，而是为了给大家展示，遗传算法是一种可行的算法，并且博主编写的matlab代码是可行的。现在，我们就要利用上一篇写的代码作为基本代码，来解决本篇的问题。放心，本篇的问题可不是用普通的方法就能就解决的。遗传算法的春天终于来了。让我们开始吧。。
二、问题描述和建模
负载均衡调度问题：假设有N个任务，需要负载均衡器分配给M个服务器节点去处理。每个任务的任务长度、每台服务器节点（下面简称“节点”）的处理速度已知，请给出一种任务分配方式，使得所有任务的总处理时间最短。
好，那么现在题目有了，但是我们要想办法对题目进行数学建模。显然，我们需要2个矩阵，一个存放任务（含任务数量、任务长度），一个存放服务器节点（含节点数量、处理速度）。
（1）任务长度矩阵（简称：任务矩阵）
我们将所有任务的任务长度用矩阵tasks表示，其中tasks(i)中的i表示任务的编号，tasks(i)表示任务i的任务长度。比如
tasks = [2, 4, 6, 8]
表明，任务1的长度是2；任务2的长度是4，以此类推。
（2）节点处理速度矩阵（简称：节点矩阵）
我们将所有服务器节点的处理速度用nodes表示，其中nodes(i)中的i表示节点的编号，nodes(i)表示节点j的处理速度。比如
nodes = [2, 1]
表明，节点1的速度是2；节点2的速度是1，以此类推。
（3）任务处理时间矩阵
当任务矩阵task和节点矩阵nodes确定下来后，那么所有任务分配给所有节点的任务处理时间就可以确定了，我们用矩阵timeMat来存所有节点的任务处理时间，那么timeMat(i, j)表示任务i分配给节点j处理所需的时间，它通过以下公式计算：
timeMat(i, j) = task(i) / nodes(j);
有了上面三个矩阵后，我们就算是成功将题目用数学的方式描述出来了。
我们用matlab代码创建一个createData.m文件，用来对题目进行建模并且保存数据。如下：
%% I. 清空自变量
clear all
clc
%% II. 题目建模
% 参数定义
taskNum = 100; % 任务数量
taskLengthRange = [10, 100]; % 任务长度范围
nodeNum = 10; % 节点数量
nodeSpeedRange = [10, 100]; % 节点长度范围
tasks = initRandomMat(taskNum, taskLengthRange); % 构建任务矩阵（含任务数量和任务长度）
nodes = initRandomMat(nodeNum, nodeSpeedRange); % 构建节点矩阵（含节点数量和节点处理速度）
timeMat = zeros(taskNum, nodeNum); % 构建处理时间矩阵
for i = 1: taskNum
for j = 1: nodeNum
timeMat(i, j) = tasks(1, i) / nodes(1, j);
end
end
%% III. 数据保存
save('data', 'tasks', 'nodes', 'timeMat');
其中initRandomMat()函数代码如下：
% [name] -- initRandomMat(初始化随机矩阵)
% [function]--
% [input] -- length (数组的长度)
% -- range (数组元素的取值范围range(1) to range(2))
% [output] -- randomMat
function randomMat = initRandomMat(length, range)
randomMat = zeros(1, length);
for i = 1: length
randomMat(1, i) = round(rand() * (range(2) - range(1)) + range(1));
end
三、遗传算法解决问题
还是老样子，我们先回顾下遗传算法的步骤，如下：
1. 种群初始化
2. 计算每个种群的适应度值
3. 选择(Selection)
4. 交叉(Crossover)
5. 变异(Mutation)
6. 重复2-5步直至达到进化次数
正如我们上一篇所说，为了让我们的代码有更好的包容性，我们需要先写几个函数包，到时再main.m里面引用，就很方便了。
（1）种群初始化函数popInit()，能根据提供的种群大小和染色体长度产生初始的种群。代码如下：
% [name] -- popInit(种群初始化函数) % [function]-- 构建种群矩阵，其中行数为种群个数，列数为染色体长度（即基因的个数），并随机分配染色体的样式 % [input] -- 1. popSize（种群大小/个数) % -- 2. cLength（染色体长度） % -- 3. range (染色体上基因的数值范围0 - range) % [output] -- popMat（种群矩阵） function popMat = popInit(popSize, cLength, range) popMat = zeros(popSize, cLength); % 预分配内存 for i = 1: popSize for j = 1: cLength popMat(i, j) = ceil(rand() * range); % rand产生(1,range)之间的随机数 end end clear i; clear j;
（2）计算每个种群的适应度值函数getfitnessValue()。代码如下：
% [name] -- getfitnessValue(计算种群个体适应度值)
% [function]-- 根据不同的题目要求，设计适应度方程计算的算法
% -- 在实际的负载均衡调度中，各个节点的任务处理是并行计算的，所以，所有任务的完成时间应该是所有节点任务完成时间的最大值，并非所有任务完成时间的总和。
% [input] -- timeMat (时间处理矩阵) -- timeMat(i, j): 第i个任务分配到第j个节点，需要的处理时间
% -- popMat (种群矩阵) -- popMat(i, j): 第i个染色体上, 第j个任务分配到的节点标号
% -- nodeNumMax (节点的最大标号)
% [output] -- fitValMat（每个染色体的适应度值）
function fitnessValueMatrix = getfitnessValue(popMat, timeMat, nodeNumMax)
[popSize, cLength] = size(popMat); % 获取种群的数目（行）和染色体长度（列）
fitnessValueMatrix = zeros(popSize, 1); % 初始化适应度矩阵 % 最大的节点标号
for i = 1: popSize
maxLength = eps; % 大于0的最小正数
for nodeIndex = 1: nodeNumMax
sumLength = 0; % 清零
for j = 1: cLength
if popMat(i, j) == nodeIndex
sumLength = sumLength + timeMat(j, nodeIndex);
end
end
if sumLength > maxLength
maxLength = sumLength;
end
end
fitnessValueMatrix(i) = maxLength;
end
clear i;
clear j;
clear nodeIndex;
（3）选择函数selection()，可以对种群进行选择，具体算法和代码如下：
% [name] -- selection(选择操作)
% [function]-- 采用轮盘赌的一个形式来进行选择，增加不确定性，这样种群就不容易趋向局部最优
% [input] -- 1. fitnessValueMatrix (适应度值矩阵)
% -- 2. popMat(未选择的种群矩阵)
% -- 3. type -- 1: 保留亲代最优个体
% 0: 不保留亲代最优个体
% [output] -- updatedPopMat（经选择后的种群矩阵）
function updatedPopMat = selection(fitnessValueMatrix, popMat, type)
[popSize, cLength] = size(popMat);
updatedPopMat = zeros(popSize, cLength);
fitnessValueMatrix = 100 ./ fitnessValueMatrix;
% 剔除适应值为负的种群，使其适应值为0
for i = 1: popSize
if fitnessValueMatrix(i, 1) < 0
fitnessValueMatrix(i, 1) = 0;
end
end
% 轮盘赌算法
P = fitnessValueMatrix / sum(fitnessValueMatrix);
Pc = cumsum(P);
for i = 1: popSize
index = find(Pc >= rand);
updatedPopMat(i, :) = popMat(index(1), :);
end
% 是否要保留亲本适应度值最高的，若是，则type = 1,否则为0
if type
[~, bestIndex] = max(fitnessValueMatrix);
updatedPopMat(popSize, :) = popMat(bestIndex, :); % 将亲代最优染色体放到子代的最后一个个体中
end
clear i;
clear j;
（4）交叉函数crossover()，可以对种群进行交叉，交叉的方式又分为单点交叉和多点交叉，根据输入不同的参数来选择不同的实现方式，具体算法和代码如下：
% [name] -- crossover(交叉操作)
% [function]-- 选定交叉点并进行互换
% [input] -- 1. popMat (未交叉的种群矩阵)
% -- 2. type -- 1: 单点交叉
% -- 2: 多点交叉
% -- 3. crossrate (交叉率) -- 建议值为0.6
% [output] -- updatedPopMat（经交叉后的种群矩阵）
function updatedPopMat = crossover(popMat, type, crossrate)
[popSize, cLength] = size(popMat);
if type == 1
% 单点交叉
for i = 1: 2: popSize
if crossrate >= rand
crossPosition = round(rand() * (cLength - 2) + 2); % 随机获取交叉点，去除0和1
% 对 crossPosition及之后的二进制串进行交换
for j = crossPosition: cLength
temp = popMat(i, j);
popMat(i, j) = popMat(i + 1, j);
popMat(i + 1, j) = temp;
end
end
end
updatedPopMat = popMat;
elseif type == 2
% 多点交叉
for i = 1: 2: popSize
if crossrate >= rand
crossPosition1 = round(rand() * (cLength - 2) + 2); % 第一个交叉点
crossPosition2 = round(rand() * (cLength - 2) + 2); % 第二个交叉点
first = min(crossPosition1, crossPosition2);
last = max(crossPosition1, crossPosition2);
for j = first: last
temp = popMat(i, j);
popMat(i, j) = popMat(i + 1, j);
popMat(i + 1, j) = temp;
end
end
end
updatedPopMat = popMat;
else
h = errordlg('type的类型只能为1(单点交叉)或者2(多点交叉)', '进行交叉时发生错误');
end
clear i;
clear j;
（5）变异函数mutation()，可以对种群进行变异，具体算法和代码如下：
% [name] -- mutation(变异操作) % [function]-- 单点变异：随机选择变异点，将其变为0或1 % [input] -- 1. popMat (未交叉的种群矩阵) % -- 2. mutateRate (交叉率) -- 建议值为0.1 % -- 3. randValur (变异后的随机数范围0-randValue) % [output] -- updatedPopMat（经交叉后的种群矩阵） function updatedPopMat = mutation(popMat, mutateRate, randValue) [popSize, cLength] = size(popMat); for i = 1: popSize if mutateRate >= rand mutatePosition = ceil(rand() * cLength); % 随机获取交叉点，去除0 % 对mutatePosition点进行变异 popMat(i, mutatePosition) = ceil(rand() * randValue); end end updatedPopMat = popMat; clear i; clear j;
（6）画图函数plotGraph：用于直观的显示在进化的过程中，种群平均总处理时间的变化。代码如下：
% [name] -- plotGraph(画图)
% [function]-- 直观的展示在进化过程中，平均适应度值的趋势变化
% [input] -- 1. generationTime(进化次数)
% 2. fitnessAverageValueMatrix(平均适应度值矩阵)
% [output] -- none
function plotGraph(fitnessAverageValueMatrix, generationTime)
x = 1: 1: generationTime;
y = fitnessAverageValueMatrix;
plot(x, y);
xlabel('迭代次数');
ylabel('平均总处理时间');
title('种群平均总处理时间的进化曲线');
好了，至此，我们就完成了解决本题目需要的函数块。接下来，我们只需要编写主函数main.m，针对本章的题目，对其进行求解即可。代码如下：
%% I. 清空变量
clear all
clc
%% II. 导入数据和参数初始化
%导入参数数据
tasks = load('data', 'tasks'); % 导入任务矩阵（含任务数量和任务长度）
tasks = tasks.tasks; % 导入的是struct格式，因此要再多此一步
nodes = load('data', 'nodes'); % 导入节点矩阵（含节点数量和节点处理速度）
nodes = nodes.nodes;
timeMat = load('data', 'timeMat'); % 导入处理时间矩阵
timeMat = timeMat.timeMat;
taskNum = length(tasks); % 任务数量
nodeNum = length(nodes); % 节点数量
iteratorNum = 1000; % 迭代次数
popSize = 300; % 种群大小（染色体数量）
crossRate = 0.6; % 交叉概率
mutateRate = 0.01; % 变异概率
fitnessAverageValueMatrix = zeros(iteratorNum, 1); % 每代平均适应度值
fitnessBestValueMatrix = zeros(iteratorNum, 1); % 每代最优适应度值
bestIndividual = zeros(iteratorNum, taskNum); % 每代最佳自变量
%% III. 初始化种群
popMat = popInit(popSize, taskNum, nodeNum);
%% IV. 迭代繁衍获取更好的个体(选择、交叉、变异)
for currentNum = 1: iteratorNum
% 求单个染色体的总处理时间和适应度矩阵
sumTimeMat = getfitnessValue(popMat, timeMat, nodeNum); % 染色体的总处理时间
% 记录当前最好的数据
if currentNum == 1
[~, bestIndex] = min(sumTimeMat);
fitnessBestValueMatrix(currentNum) = min(sumTimeMat);
fitnessAverageValueMatrix(currentNum) = mean(sumTimeMat);
bestIndividual(currentNum, :)= popMat(bestIndex, :); % 最佳适应度值所对应的染色体（分配方案）
else
[~, bestIndex] = min(sumTimeMat);
fitnessBestValueMatrix(currentNum) = min(fitnessBestValueMatrix(currentNum - 1), min(sumTimeMat));
fitnessAverageValueMatrix(currentNum) = mean(sumTimeMat);
if fitnessBestValueMatrix(currentNum) == fitnessBestValueMatrix(currentNum - 1)
bestIndividual(currentNum, :) = bestIndividual(currentNum - 1, :);
elseif fitnessBestValueMatrix(currentNum) == min(sumTimeMat)
bestIndividual(currentNum, :) = popMat(bestIndex, :);
else
h = errordlg('请检查代码', '意外错误');
end
end
if currentNum ~= iteratorNum
% 选择
popMat = selection(sumTimeMat, popMat, 1); % 保留亲代最佳个体
% 交叉
popMat = crossover(popMat, 1, crossRate); % 单点交叉
% 变异
popMat = mutation(popMat, mutateRate, nodeNum);
end
end
%% V. 画图并展示结果
% 画图
plotGraph(fitnessAverageValueMatrix, iteratorNum);
% 展示数据
disp 最短处理时间
fitnessBestValueMatrix(currentNum, 1)
plan = bestIndividual(currentNum, :);
运行上述程序，可以得到：
ans =
9.5278
可以得知，经过我们的遗传算法，可以设计出一套方案，让总处理时间大大减小（不能保证是最小，但接近最小）。下面大家可以看看，随着迭代次数的增加，遗传算法对方案的优化进而平均总处理时间的变化。
可以看到，随着迭代次数的增加，平均总处理时间从30多降到最后的9点多。
