特殊矩阵之对称矩阵

定义：对称矩阵\(\mathbf{A}\)是一个其元素\(a_{ij}\)关于主对角线对称的实正方形矩阵，既有
\begin{align}
\mathbf{A}^T = \mathbf{A}~~ 或 ~~ a_{ij} = a_{ji}
\end{align}
性质：若\(A\)和\(B\)都是对称矩阵，则\(\mathbf{A} = \mathbf{A}^T\)，且\(\mathbf{A}^{-1},\mathbf{A}^m\)（m为正整数）和\(\mathbf{A}+\mathbf{B}\)仍是对称阵。
对角阵：主对角线以外的元素都是0的矩阵，即
\begin{align}
\mathbf{D} = \begin{bmatrix}
d_1 &0 &\cdots &0 \newline
0 &d_2 &\cdots &0 \newline
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\newline
0 &0 &\cdots &d_n
\end{bmatrix} = diag(d_1,d_2,\cdots,d_n)
\end{align}
对角矩阵性质：
左乘对角矩阵
\begin{align}
\mathbf{DA} &= \begin{bmatrix}
d_1 &0 &\cdots &0 \newline
0 &d_2 &\cdots &0 \newline
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\newline
0 &0 &\cdots &d_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \newline
a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \newline
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \newline
a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{bmatrix}\newline
&=\begin{bmatrix}
d_1a_{11} &d_1a_{12} &\cdots &d_{1}a_{1n} \newline
d_2a_{21} &d_2a_{22} &\cdots &d_{2}a_{2n} \newline
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \newline
d_na_{n1} &d_na_{n2} &\cdots &d_na_{nn}
\end{bmatrix}
\end{align}
相当于对矩阵\(\mathbf{A}\)的每一列乘上相应的数，同样的，右乘对角阵相当于对每一行乘上相应的数。