特殊矩阵之对称矩阵

定义：对称矩阵$\mathbf{A}$是一个其元素$a_{ij}$关于主对角线对称的实正方形矩阵，既有
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}\mathrm{或}{a}_{ij}=a_{ji}\end{array}$$
性质：若$A$和$B$都是对称矩阵，则$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^T$，且${\mathbf{A}}^{-1},{\mathbf{A}}^m$（m为正整数）和$\mathbf{A}+\mathbf{B}$仍是对称阵。
对角阵：主对角线以外的元素都是0的矩阵，即
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{D}=\left[\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right]=diag(d_1,d_2,\cdots ,d_n)\end{array}$$
对角矩阵性质：
左乘对角矩阵
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathbf{DA}& =\left[\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\text{(4)}& & =\left[\begin{array}{cccc}{d}_1{a}_{11}& d_1{a}_{12}& \cdots & d_1{a}_{1n}\\ d_2{a}_{21}& d_2{a}_{22}& \cdots & d_2{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ d_n{a}_{n1}& d_n{a}_{n2}& \cdots & d_n{a}_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$
相当于对矩阵$\mathbf{A}$的每一列乘上相应的数，同样的，右乘对角阵相当于对每一行乘上相应的数。