exkmp(Z函数) & LCP & LCS

Z函数可以在\(O(n)\)时间内求出自己的所有后缀和本身的LCP(最长公共前缀)，和任意字符串\(T\)和其的LCP。

原理就是考虑之前的lcp，可以通过之前的lcp这一位和前缀某一位一致，对应到前缀某一位的LCP，再向右扩展。注意到，右边界最多被扩展1次所以是线性复杂度。

struct Z {
    int z[MAXN], p[MAXN];
    void get_Z(char* s, int n) {
        int t = 1, lim; z[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            lim = t + z[t] - 1; //[1,t-1],[t,lim] 
            if (i + z[i - t + 1] - 1 < lim) {
                z[i] = z[i - t + 1];
            } else {
                z[i] = max(0, lim - i + 1);
                while (s[i + z[i]] == s[z[i] + 1])z[i]++;
            }
            if (i + z[i] > t + z[t])t = i;
        }
        z[1] = n;
    }
    void exkmp(char* s, char* u, int n, int m) {
        int t = 1, lim;
        p[1] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            lim = t + p[t] - 1; //[1,t-1],[t,lim]
            if (i + z[i - t + 1] - 1 < lim) {
                p[i] = z[i - t + 1];
            } else {
                p[i] = max(0, lim - i + 1);
                while (u[i + p[i]] == s[p[i] + 1] && p[i] + 1 <= n)p[i]++;
            }
            if (i + p[i] > t + p[t])t = i;
        }
    }
}p;

例题：
HDU: 7366 Nested String

LCP

性质：

• 若字符串\(S\)，的\(i\)后缀和\(j\)后缀的\(LCP \geq j-i+1 (i < j)\)，那么长度为$ j+LCP-i $ 的子串是以\(S[i,j-1]\)为周期的串。

更进一步，若字符串\(i\)的\(z\)函数值\(i+z[i]-1 = n\)，那么这个字符串就是以\(S[1,i-1]\)为周期的串。在后缀章节会学习如何求出任意两个位置的LCP。

• LCS （最长公共后缀）同理。把字符串翻转一遍，求出LCP即可。