数学总结
这个暑假是把数学好好补了补，原来就和小白一样（虽然现在也是）
质数
·质数的判定\(O(\sqrt n)\)
bool isPrime(int x){
int s = sqrt(x);
for(int i = 2; i <= s; ++i)
if(x % i == 0) return false;
return true;
}
·欧拉筛质数\(O(n\log n)\)
int ban[MAXN];
for(int i = 2; i <= n; ++i)
for(int j = 2; i * j <= n; ++j)
ban[i * j] = 1;
}
·线性筛质数\(O(n)\)
int v[MAXN], prime[MAXN], cnt, is[MAXN];
for(int i = 2; i <= n; ++i)
if(!v[i]){
v[i] = i;
prime[++cnt] = i;
is[i] = 1;
}
for(int j = 1; j <= cnt; ++j){
if(v[i] < prime[j] || prime[j] > n / i) break;
v[i * prime[j]] = prime[j];
}
}
约数
·唯一分解定理：任意数\(n\)可表示为\(p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_m^{c_m}\)
·质因数分解\(O(\sqrt n)\)
·约数个数\(num=\prod_{i=1}^{m}(c_i+1)\)
·约数和\(sum=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{c_i}p_i^j)\)
最大公约数
·欧几里得算法 \(O(\log{\max(a,b))}\)
int gcd(int a, int b){
return !b ? a : gcd(b, a%b);
}
·更相减损术 \(O(\log{\max(a,b))}\)(加优化后)
int gcd(int a, int b){
if(a % b == 0) return b;
if(b % a == 0) return a;
if(a % 2 && !(b % 2)) return gcd(a, b / 2);
if(!(a % 2) && b % 2) return gcd(a / 2, b);
if(!(a % 2) && !(b % 2)) return gcd(a / 2, b / 2) * 2;
if(b > a) swap(a, b);
return gcd(b, a - b);
}
裴蜀定理
\(n\)个整数能拼出的值域和它们的最大公约数相同。
欧拉函数
·定义：\(\phi(n)\)=小于等于n的与n互质的数的个数
·欧拉函数为积性函数
·求欧拉函数\(O(\sqrt n)\)：\(\phi(n)=n*\prod_{\text{质数}p|n}(1-\frac{1}{p})\)
·线性筛欧拉函数\(O(n)\)
//线性筛欧拉
for(int i = 2; i <= n; ++i){
if(!v[i]){
v[i] = i;
prime[++cnt] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for(int j = 1; j <= cnt; ++j){
if(prime[j] > n / i) break;
v[prime[j] * i] = prime[j];
if(i % prime[j] == 0){
phi[prime[j] * i] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
}
}
同余
·费马小定理：若\(p\)是质数，则有\(a^p\equiv a\pmod p\)
·欧拉定理：若\(a,n\)互质，则有\(a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n\)
·欧拉定理推论：若\(a,n\)互质，则有\(a^b\equiv a^{b\ mod \ \phi(n)}\pmod n\)
·扩展欧几里得算法：在\(O(\log{\max(a,b))}\)的时间复杂度内得出方程\(ax+by=\gcd(a,b)\)的一组解
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(!b){ x = 1; y = 0; return a; }
int d = exgcd(b, a % b, x, y);
int z = x; x = y; y = z - (a / b) * y;
return d;
}
逆元
·定义：若\(ax\equiv1\pmod n\)，则\(x\)为\(a\)在模\(n\)意义下的逆元，记为\(a^{-1}\)
求逆元
·扩展欧几里得算法：\(exgcd(a,n,x,y)\text{得到的}x即为逆元\)
·若\(n\)为质数，可用费马小定理的变式：\(x=a^{n-2}\)
·线性递推\(1\)~\(n\)模\(p\)意义下的逆元：\(inv[i]=(p-\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor)*inv[p\mod i]\mod p\)(边界：\(inv[1]=1\))
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++ i)
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
中国剩余定理
若\(m_1,m_2,...,m_n\)是两两互质的正整数，则同余方程组
有整数解，解为\(x=\sum_{i=1}^na_iM_it_i\)，
其中，\(M_i\)为\(\frac{m}{m_i}\)。
其中\(m=\sum_{i=1}^nm_i\)，
\(t_i\)为线性同余方程\(M_it_i\equiv 1\pmod{m_i}\)的一个解。
//洛谷P3868 猜数字
#include <cstdio>
const int MAXN = 15;
typedef long long ll;
ll a[MAXN], b[MAXN], M[MAXN], tot = 1, ans, x, y;
int n;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
if(!b){
x = 1; y = 0;
}
else{
exgcd(b, a % b, x, y);
ll z = x; x = y; y = z - (a / b) * y;
}
}
ll Slow_Mul(ll n, ll k, ll mod){
ll ans = 0;
while(k){
if(k & 1) ans = (ans + n) % mod;
k >>= 1;
n = (n + n) % mod;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%lld", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%lld", &b[i]), tot *= b[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i){
M[i] = tot / b[i];
exgcd(M[i], b[i], x, y);
ans = (ans + Slow_Mul(Slow_Mul(a[i], M[i], tot), ((x % b[i]) + b[i]) % b[i], tot)) % tot;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
扩展中国剩余定理（EXCRT）
见这里
高次同余方程
·问题：\(a,p\)互质，求一个非负整数\(x\)，使得\(a^x\equiv b\pmod p\)
·\(BSGS\)算法
设$$a^{i*t-j}\equiv b\pmod p$$，其中\(t=\left\lceil\sqrt p\right\rceil\)。
式子两边同乘\(a^j\)得$$a^{it}\equiv ba^j\pmod p$$于是就可以枚举所有\(j[0,t)\)，把所有\(b*a^j\)的值存入一个\(Hash\)表，然后再枚举\(i[0,t]\)，算出\((a^i)^t\mod p\)，看\(Hash\)表里有没有对应的值，如果有，那么答案就是\(i*t-j\)了。
int BSGS(int a, int b, int p){ //a^x≡b(mod p)
map <int, int> hash; hash.clear();
int t = ceil(sqrt(p));
for(int i = 0; i < t; ++i){
int val = (long long)b * fast_pow(a, i, p) % p;
hash[val] = i;
}
a = fast_pow(a, t, p);
if(!a) return !b ? 1 : -1;
for(int i = 0; i <= t; ++i){
int j = fast_pow(a, i, p);
int k = hash.find(j) == hash.end() ? -1 : hash[j];
if(k >= 0 && (i * t - k) >= 0) return i * t - k;
}
return -1;
}
矩阵乘法
·定义
·矩阵乘法加速递推
·矩阵乘法转移状态
高斯消元法
具体不赘述，流程：构建增广矩阵->第i个方程第i项系数化一->下面的方程第i项系数化0->回代
//洛谷P3389 【模板】高斯消元法
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll s = 0, w = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')w = -1;ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return s * w;
}
const int MAXN = 110;
int n;
double M[MAXN][MAXN], ans[MAXN];
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n + 1; ++j)
scanf("%lf", &M[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; ++i){
int r = i;
for(int j = 1; j <= n; ++j) if(fabs(M[j][i]) > 1e-8) r = j; //找到第一个第i项系数不为0的
if(r != i) for(int j = 1; j <= n + 1; ++j) swap(M[i][j], M[r][j]); //和第i行交换
if(fabs(M[r][i]) < 1e-8){ printf("No Solution\n"); return 0; } //如果不存在（第i项系数都为0），则无解
double tmp = M[i][i];
for(int j = 1; j <= n + 1; ++j)
M[i][j] /= tmp; //第i项系数化1
for(int j = i + 1; j <= n + 1; ++j){ //把其它方程第i项的系数去掉
tmp = M[j][i] / M[i][i];
for(int k = 1; k <= n + 1; ++k)
M[j][k] -= tmp * M[i][k];
}
}
ans[n] = M[n][n + 1];
for(int i = n - 1; i; --i){ //回代
ans[i] = M[i][n + 1];
for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
ans[i] -= M[i][j] * ans[j];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%.2lf\n", ans[i]);
return 0;
}
组合计数
·排列：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)
·组合：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
·杨辉三角：\(C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m]\) 边界\(C[i][0]=1(0<=i<=n)\)
·二项式定理：\((a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}\)
·\(Catalan\)数：\(Cat_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)
·\(Lucas\)定理：\(C_n^m=C_{n\mod p}^{m\mod p}\times C_{n/p}^{m/p}\)
·容斥原理：奇加偶减
概率与数学期望
0/1分数规划
博弈论
·\(NIM\)游戏：获胜条件：\(A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_n \neq 0\)
·\(SG\)函数：该点能到达的所有点的\(SG\)函数的集合的\(mex\)函数
感觉还是有点懵。。
