算法的效率度量

1.4 算法复杂性分析

f(n) = n² + 100n + log10n(log10的n次方) + 1000

• 数据规模n逐步增大时，f(n)的增长趋势
• 当n增大到一定值以后，计算公式中影响最大的就是n的幂次最高的项
  • 其他的常数项和低幂次项都可以忽略

算法渐进分析：大O表式法

• 函数f,g定义域为自然数，值域非负实数集
• 定义：如果存在正数c和n0，使得对任意的n>=n0，都有f(n)<=cg(n)，
• 称f(n)在集合O(g(n))中，简称f(n)是O(g(n))的，或f(n) = O(g(n))
• 大O表示法：表达函数增长率上限
  • 一个函数增长率的上限可能不止一个
• 当上、下限相同时则可用Θ表示法

大O最常用，大Θ通常也可简单看做大O

大O表示法的单位时间

• 简单布尔或算术运算
• 简单I/O
  • 指函数的输入/输出 例如，从数组读数据等操作
  • 不包括键盘文件等I/O
• 函数返回

大O表示法的运算规则

• 加法规则：f1(n) + f2(n) = O(max(f1(n), f2(n)))
  • 顺序结构，if结构，switch结构
• 乘法规则：f1(n) * f2(n) = O(f1(n) * f2(n))

  • for, while, do-while结构

    	for (i=0; j<n; i++)
    
    		for(j=i; j<n; j++)
    
    				k++;
    

算法渐进分析：大Ω表示法

• 定义：如果存在正数c和n0，使得对所有的n>=n0，都有f(n) >= cg(n)，则称f(n)在集合Ω(g(n))中，或简称f(n)是Ω(g(n))的，或f(n) = Ω(g(n))
• 大O表示法和大Ω表示法的唯一区别在于不等式的方向而已
• 采用大Ω表示法时，最好找出在函数增值率的所有下限中哪个最"紧"（即最大）的下限

算法渐进分析：大θ表示法

• 当上下限相同时则可用θ表示法

• 定义如下：

  • 如果一个函数即在集合O(g(n))中又在集合Ω(g(n))中，则称其为θ(g(n))

• 也即，当上、下限相同时则可用大θ表示法

• 存在正常数c1,c2，以及正整数n0，使得对于任意的正整数n > n0，有下列两不等式同时成立：

  c1 g(n) <= f(n) <= c2g(n)

问题空间 vs 时间开销

最坏（压力测试） 平均 最佳

顺序找k值

• 顺序从一个规模为n的一维数组中找出一个给定的K值
• 最佳情况
  • 数组中国第1个元素就是K
  • 只要检查一个元素
• 最差情况
  • K是数组的最后一个元素
  • 检查数组中所有的n个元素

顺序找K值----平均情况

• 如果等概率分布

  • K值出现在n个位置上概率都是1/n

• 则平均代价为O(n)

  n + 1 / 2

• 概率不等

  • 出现在第1个位置的概率为1/2
  • 第2个位置上的概率为1/4
  • 出现在其他位置的概率都是 1/4(n-2)

• 平均代价为O(n)

1 + (n + 3) / 8

二分法找K值

对于已排序顺序线性表

• 数组中间位置的元素值Kmid
  • 如果Kmid = K，那么检索工作就完成了
  • 当Kmid > K时，检索继续在前半部分进行
  • 相反地，若Kmid < K ，就可以忽略mid以前的那部分，检索继续在后半部分进行
• 快速
  • Kmid = K 结束
  • Kmid != K 起码缩小了一半的检索范围

二分法检索性能分析

• 最大检索长度为 log2(n+1)

• 失败的检索长度是 log2(n + 1) 或 log2(n + 1)

• 平均检索代价为O(logn)

  在算法复杂性分析中

• logn是以2为底的对数

• 以其他数值为底，算法量级不变

时间/空间权衡

• 数据结构
  • 一定的空间来存储它的每一个数据项
  • 一定的时间来执行单个基本操作
• 代价和效益
  • 空间和时间的限制
  • 软件工程

时空权衡

• 增大空间开销可能改善算法的时间开销
• 可以节省空间，往往需要增大运算时间

数据结构和算法的选择

• 仔细分析所要解决的问题
  • 特别是求解问题所涉及的数据类型和数据间逻辑关系 ---- 问题抽象、数据抽象
  • 数据结构的初步设计往往先于算法设计
• 注意数据结构的可扩展性
  • 考虑当输入数据的规模发生改变时，数据结构是否能够适应求解问题的演变和扩展

思考：数据结构和算法的选择

• 问题求解的目标？
• 数据结构与算法选择的过程？

思考：数据结构的三要素

以下哪几种结构是逻辑结构，而与存储和运算无关（）

A 顺序表 B 散列表 C 线性表 D 单链表

下面术语（）与数据的存储结构无关

A 顺序表 B 链表 C 队列 D 循环链表