强连通分量

强连通分量
相关资料
板子 - tarjan
例题
- 综合运用
- 模板题

强连通分量

dfs 森林

将原有的有向边按照搜索的情况分为四类：

树边 (tree edge)：访问节点走过的边
返祖边 (back edge)：指向祖先节点的边
横叉边 (cross edge)：右子树指向左子树的边
前向边 (forward edge)：指向子树中节点的边

返祖边和树边必定构成环，横叉边和树边可能构成环，前向边不影响强连通分量

tarjan算法

一遍 dfs 维护强连通分量相关信息
复杂度 $O (n + m)$

Kosaraju算法

DAG 出栈顺序是反图的拓扑序
有向图 SCC 缩点成 DAG
最后一个出栈的点就是反图源点
故，tarjan 的 scc 编号是反序的拓扑序

对原图和反图均做一次 dfs 求得强连通分量

板子 - tarjan

 struct SCC{//Strongly Connected Components
	int n;
	int idx, cnt;
	vector<int> stk;
	vector<int> dfn, low, bel;
	vector<vector<int>> scc, e;
	SCC(){}
	SCC(int x) : n(x){
		e.assign(n + 1, {});
		dfn.assign(n + 1, 0);
		low.assign(n + 1, 0);
		bel.assign(n + 1, 0);
		stk.clear(); scc.clear();
		idx = cnt = 0;
	}
 
	void add_edge(int u, int v){
		e[u].push_back(v);
		return ;
	}
 
	void tarjan(int u){
		dfn[u] = low[u] = ++ idx;
		stk.push_back(u);
		for(auto v : e[u]){
			if(!dfn[v]){
				tarjan(v);
				low[u] = min(low[u], low[v]);
			}else if(bel[v] == 0){
				low[u] = min(low[u], dfn[v]);
			}
		}
		if(dfn[u] == low[u]){
			++ cnt;
			vector<int> t;
			int v;
			do{
				v = stk.back();
				t.push_back(v);
				bel[v] = cnt;
				stk.pop_back();
			}while(v != u);
			scc.push_back(t);
		}
		return ;
	}
 
	void work(){
		for(int i = 1; i <= n; ++ i){
			if(!dfn[i]) tarjan(i);
		}
		return ;
	}
};

例题

综合运用

缩点最大链点权和 - 洛谷 P3387 【模板】缩点
代码见提交
缩点求出入度 - 洛谷 P2746 [USACO5.3] 校园网Network of Schools

利用强连通分量缩点

当强连通分量个数为 1 时（需特判！！！）
子任务 A：1
子任务 B：0
因为此时整个图是强连通的

当强连通分量个数为 1 时
子任务 A：答案即为入度为 0 的点的个数
子任务 B：答案即为 max(入度为 0 的点数，出度为 0 的点数)。
因为想要将多个 DAG 变成一个 SCC，则最划算的就是将无出度点连向无入度点，为了连接尽可能少的边，从 0 出度点开始走，依次走过 0 入度点、0出度点、0 入度点、0出度点、... 直至某种点数不够，则将其连至已有的另一种点，剩下的也是如此。这样，就可以得到一个 SCC，所需加边数即为 max(入度为 0 的点数，出度为 0 的点数)
Qiansui_code

判给定 n 对点是否属于一个 SCC 洛谷 P1407 [国家集训队] 稳定婚姻

还得是洛谷评论区，orz！
什么时候婚姻是不安全的，以第一对夫妻为例，如果说，可以有下面这种情况成立，即男 1 找女 2，男 2 找女 3，男 3 找女 4， ...，男 k 找女 1 时，构成闭环，剩下如果还有夫妻则保持不变，此时婚姻是不安全的。如果说最终无法实现，说明婚姻就是安全的。
有没有种强连通分量的感觉，如果说一对夫妻均在一个 SCC 里面，则婚姻就是不安全的；反之安全（感觉没有说清楚，再看看题解想一想）

做法：抽象建图，对于夫妻关系连边女 -> 男，对于情人关系连边男 -> 女，在利用 tarjan 缩点，记录每个点属于哪一个 SCC。如果夫妻二人属于一个 SCC，则不安全；反之安全

Qiansui_code

模板题

判断整个图是否强连通 - hdu 1269 迷宫城堡

判断强连通分量是否只有一个即可

求强连通分量个数 - 洛谷 P2863 [USACO06JAN] The Cow Prom S

代码 - tarjan

 //>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << '\n'
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << '\n'
//#define int long long
 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<ull, ull> pull;
typedef pair<double, double> pdd;
/*
模板题
*/
const int maxm = 1e4 + 5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
int n, m;
vector<int> e[maxm];
 
int dfn[maxm], low[maxm], tot = 0;
bool instk[maxm];
stack<int> stk;
vector<vector<int>> scc;
 
void tarjan(int u){
	dfn[u] = low[u] = ++ tot;
	instk[u] = true;
	stk.push(u);
	for(auto v : e[u]){
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}else if(instk[v]){
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u] == low[u]){
		vector<int> c;
		int v;
		do{
			v = stk.top();
			c.push_back(v);
			instk[v] = false;
			stk.pop();
		}while(v != u);
		scc.push_back(c);
	}
	return ;
}
 
void solve(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < m; ++ i){
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	int ans = 0;
	for(auto c : scc){
		if(c.size() > 1) ++ ans;
	}
	cout << ans << '\n';
	return ;
}
 
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	int _ = 1;
	// cin >> _;
	while(_ --){
		solve();
	}
	return 0;
}