2023牛客多校第一场 - D J
牛客多校第一场
比赛地址：传送门
D 博弈
J 概率递推式（需优化）
题解搜集：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/644609639
D 题
题意：
有一个 \(n \times m\) 的网格，每格放了块巧克力。Walk Alone（懵哥）和 Kelin 轮流吃巧克力，Kelin 先吃。每轮一个人能选择一个左下角为(1,1)的子矩形，把里面的巧克力吃光，且至少要吃一个，吃到最后一个巧克力的人输。问懵哥和 Kelin 谁赢。
思路：
1x1后手赢，其他情况先手赢。怎么理解？依旧是必胜态与必败态的转移。
是个chomp游戏，详见链接：传送门
感觉emmm，一般性的必胜策略难以证明，有些特殊情况的则即为简单，例如 n=m 、n=1 或 m=1（不同时成立）、n=2 或 m=2（不同时成立）时均有非常简单的必胜策略。其余情况打的时候就没推出来。。。
离散数学偏序关系？坏了，之前没学好离散数学
//>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << endl
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ull,ull> pull;
typedef pair<double,double> pdd;
/*
1x1后手赢，其他情况先手赢
*/
const int maxm=2e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
void solve(){
int n,m;
cin>>n>>m;
if(n==1 && m==1) cout<<"Walk Alone\n";
else cout<<"Kelin\n";
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
// cin>>_;
while(_--){
solve();
}
return 0;
}
H 题
题解(来自changge)
还有个22级的离谱思路，双重循环+限制循环次数即得解，估计是数据太水了~
J 题
题意：
Walk Alone 在玩一种赌博游戏，游戏的规则和步骤如下：
- 整局游戏有很多轮
- 每一轮，Walk Alone 都可以支付 \(x_i\) 元作为自己的赌资。如果说Walk Alone 赢下了这一轮，那么他将获得 \(2x_i\) 元；如果 Walk Alone 输了，赌资就没了。赢得概率规定为0.5。
Walk Alone 初始有 n 元本金，他想要再赚 m 元，他有自己的策略去参与这场赌博：
- 第一轮，Walk Alone 只会支付赌资 \(x_1 = 1\)
- 如果 Walk Alone 在第 i-1 轮赢了，那么第 i 轮 \(x_i = 1\)；反之，输了的话 \(x_i = 2x_{i-1}\)
- 每一轮的开始，如果说 Walk Alone 已经拥有的钱数大于等于 n+m ，则他就退出比赛；否则，他必须将 \(x_i\) 作为自己的赌资，如果他没有 \(x_i\) 元则将被迫退出比赛。
问你 Walk Alone 最终获胜的概率？
思路：
概率递推式
打时具体的过程都想清楚了，但是欠点实现的思路qwq
第 i 轮 ：直接赢，赚 1 块；假设能输的情况下，输 lg 场后赢，也是赢 1 元，所以想要赢钱的可能就是“输输输...输赢”，输的次数取决于最大能输的次数。假设当前持有金额为 k ，则 Walk Alone 最多能输 \(lg = \log_2(k + 1)\) 轮，此时赢的概率即为 $P_i=1 - \frac{1}{2^{lg}} $
那么从本金 n 到最终结束的金额 n + m 之间的概率均已知，最终的概率为 \(\prod_{i=n}^{n+m}{P_i}\)
之后我们注意到，对于\([2^j - 1, 2^{j+1} - 2]\)之间的持有钱数的输场次数是相等的，所以可以利用这个进行优化计算
具体的代码还可以再看看，小细节再理解理解
下为代码
//>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << endl
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ull,ull> pull;
typedef pair<double,double> pdd;
/*
*/
const int maxm = 2e5+5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
ll qpow(ll a,ll x){
ll res = 1;
while(x){
if(x & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
x >>= 1;
}
return res;
}
void solve(){
ll n, m;
cin >> n >> m;
ll t = n, ans = 1;
while(t < n + m){
ll lg = log2(t + 1), r = min(m + n, (1ll << (lg + 1)) - 1);
ans *= qpow(mod + 1 - qpow(2, mod - 1 - lg), r - t);
ans %= mod;
t = r;
}
cout << ans <<'\n';
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
int _ = 1;
// cin >> _;
while(_--){
solve();
}
return 0;
}
K 题
题意：
思路：
