组合数与二项式定理

目录

• 鸽巢原理
• 组合数
  • 求解组合数
  • 组合数递推公式 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$
  • 相关资料
  • 例题
• 范德蒙德卷积 - 组合数公式的推导
  • 相关资料
• 二项式定理
  • 例题

鸽巢原理

n+1 只鸽子飞进 n 个笼子，必定有一个笼子出现 2 只鸽子
将 n 个物体，划分为 k 组，那么至少存在一个分组，含有大于或等于 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{k}}\rceil$ 个物品

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组合数

组合数表示：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=C_n^k$
组合数基本公式： $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)···(n-m+1)}{m!}$
组合数递推公式： $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

求解组合数

• 线性求组合数
  范围 $a\in [1,N-1],0\le b\le a$
  记得主函数里调用 pre 函数，记得修改 N 和 mod 的值！

const int N = 1e6 + 10, mod = 998244353;
ll fact[N + 1], finv[N + 1];
ll qpow(ll a, ll x){//带模快速幂
	a %= mod;
	ll res = 1;
	while(x){
		if(x & 1) res = res * a % mod;
		x >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return res;
}
 
void pre(){//线性预处理
	fact[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= N; ++ i){
		fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
	}
	finv[0] = 1;
	finv[N] = qpow(fact[N], mod - 2);
	for(int i = N - 1; i > 0; -- i)
		finv[i] = finv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	return ;
}
 
ll C(int a, int b){//求取组合数
	if(a < 0 || b < 0) return 1;
	return fact[a] * finv[b] % mod * finv[a - b] % mod;
}

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//来自焦佬 暂不建议，因为没有整理过

注意maxm的范围为C(n,m)中，n+m的最大取值。。。

int facinv[maxm + 10], fac[maxm + 10];
ll qpow(int b, int p, int k) {
	ll ans = 1, base = b;
	while(p) {
		if(p & 1) ans = ans * base % k;
		p >>= 1;
		base = base * base % k;
	}
	return ans % k;
}
ll C(ll n, ll m) {
	if(n < m) return 1;
	if(m*2>=n) m=n-m;
	return (ll)fac[n] * facinv[m] % mod * facinv[n - m] % mod;
}
facinv[0] = fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= maxm; i++)
	fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % mod;
for(int i = 1; i <= maxm; i++){
	facinv[i] = facinv[i - 1] * qpow(i, mod - 2, mod)%mod;
}

组合数递推公式 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

递推预处理组合数

void pre(){
	for(int i=1;i<=1000;++i){
		c[i][i]=c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<i;++j){
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
		}
	}
	return ;
}

相关资料

例题

• 求组合数 2023杭电多校第五场 - 7 12

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范德蒙德卷积 - 组合数公式的推导

范德蒙德卷积是一种合并组合数的式子，主要应用于组合数学的公式推导。
范德蒙德卷积公式：${\displaystyle \sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}$

oi wiki ：在一个大小为 n+m 的集合中取出 k 个数，可以等于把大小为 n+m 的集合拆成两个集合，大小分别为 n 与 m，然后从 n 中取出 i 个数，从 m 中取出 k-i 个数的方案数。由于我们有了对于 i 的枚举，于是只需要考虑一种拆法，因为不同的拆法之间是等价的。

推论

• 推论 1 ：${\displaystyle \sum _{i=-r}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{s-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{r+s})}$
• 推论 2 ：${\displaystyle \sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1})}$
• 推论 3 ：${\displaystyle \sum _{i=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}^2=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$
• 推论 4 ：${\displaystyle \sum _{i=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m})}$

相关资料

oi wiki - 范德蒙德卷积

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二项式定理

二项式定理：$(a+b{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_n^r{a}^r{b}^{n-r}}$
二项式系数：$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

例题

• 计算二项式系数 洛谷 P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数
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