动态规划基础
动态规划
入门问题探讨
题目传送门：leetcode 198. 打家劫舍
- 自顶向下记忆化解决问题
O(n)时间
class Solution {
public:
int dfs(int x, vector<int> &dp, vector<int> &nums){
if(x<0) return 0;
if(dp[x]!=-1) return dp[x];
else return dp[x]=max(dfs(x-1,dp,nums),dfs(x-2,dp,nums) + nums[x]);
}
int rob(vector<int>& nums){
int n=nums.size();
vector<int> dp( n, -1);
return dfs( n-1, dp, nums);
}
};
- 自底而上递推解决问题
递归转递推求解
O(n)时间
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums){
int n=nums.size();
vector<int> dp(n+2,0);
for(int i=0 ; i<n ; ++i){
dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
}
return dp[n+1];
}
};
- 滚动数组优化空间
优化递推求解
O(1)空间
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums){
int n=nums.size();
int f0=0,f1=0,f2;
for(int i=0 ; i<n ; ++i){
f2=max(f1,f0+nums[i]);
f0=f1;
f1=f2;
}
return f2;
}
};
摘记
动态规划的两个要求：最优子结构 和 无后效性
最优子结构：大问题的（最优）解可以由小问题的（最优）解推出。注意在问题拆解过程中不能无限递归
无后效性：未来与过去无关，一旦得到了一个小问题的解，如何得到它的解的过程不影响大问题的求解。
动态规划的两个元素：状态 和 转移
状态：求解过程进行到了哪一步，可以理解为一个子问题
转移：从一个状态（小问题）的（最优）解推导出另一个状态（大问题）的（最优）解的过程
最长公共子序列 LCS
LCS模板题： 百炼oj 1458:Common Subsequence
利用动态规划求解
对于字符串s(下标1 ~ n)和t(1 ~ m)，开一个统计数组\(c[n][m](初始为0)\)
状态转移方程，对所有的\(1\leq i \leq n , 1 \leq j \leq m\)：
最后的答案即为\(c[n][m]\)
时间复杂度为\(O(nm)\)
空间可以通过滚动数组优化为 $O(2max(m, n)) $ ?
最长上升子序列 LIS
LIS 模板题： 洛谷 B3637 最长上升子序列
$O(n^2) $ 求法
void solve(){
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n), dp(n, 1);//dp 初值为 1
int ans = 0;
for(int i = 0; i < n; ++ i){
cin >> a[i];
for(int j = 0; j < i; ++ j){// 枚举之前的每一位，由前某一位dp值最大的转移过来
if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
ans = max(ans, dp[i]);// 遍历过程中取最大答案
}
cout << ans << '\n';
return ;
}
$O(n logn) $ 做法
dp[i] 表示长为 i 的子序列的末尾最小元素为 k，每次更新可以利用二分加速
void solve(){
int n, a;
cin >> n;
vector<int> dp(n + 10, inf);// 初始化全部inf，代表这些位置均不可能
for(int i = 0; i < n; ++ i){
cin >> a;
auto it = lower_bound(dp.begin() + 1, dp.end(), a) - dp.begin();
dp[it] = min(dp[it], a);
}
cout << lower_bound(dp.begin() + 1, dp.end(), inf) - dp.begin() - 1 << '\n';
return ;
}
相关资料
最长上升子序列的求法：我是链接
相关资料
例题
综合运用
-
洛谷 P1255 数楼梯
此题答案过大，需要用到高精度算法 + 斐波那契数列 -
二分 + LIS - 洛谷 P1439 【模板】最长公共子序列
小难，需要转换思维
$O(n^2) $ 过不了嗷！！！ 因为题目具有特殊性，还是个诈骗题。。。但是有意思，再理解理解
void solve(){
cin >> n;
mem(b, 127);
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> a, p[a] = i;//p 数组转换位置
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
int x;
cin >> x;
x = p[x];
*lower_bound(b + 1, b + 1 + n, x) = x;
}
cout << lower_bound(b + 1, b + 1 + n, b[0]) - b - 1 << '\n';
return ;
}
- 经典导弹拦截系统 洛谷 P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截
洛谷的该题有两问
第一问，即为求最长不下降子序列的长度
显然，类似于最长上升子序列的求法，$n \log n $ 的做法即可
第二问，求需要的最少的导弹系统
法一 - 贪心二分维护导弹系统
法二 - 转化问题为求最长上升子序列
