树状数组

树状数组
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- 求解全局逆序对问题
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树状数组

基本原理如下图所示

树状数组支持单点修改、区间查询等操作
由原数组\(a[x]\)转换为数组\(c[x]\)，我们可以知道，对于c数组的每一个x，其所管辖的范围就是\([x-lowbit(x)+1,x]\)，长度为\(2^k\)，其中 k 恰好为 x 二进制表示中，最低位的 1 所在的二进制位数，\(2^k\)为恰好为 x 二进制表示中，最低位的 1 以及后面所有 0 组成的数。
举个栗子：\(c_{88}\)管辖哪个区间？
\((88)_{10}=(01011000)_2\)，其二进制最低位的1以及后面的0组成的二进制是\(1000\)，即 8，所以\(c_{88}\)管辖 8 个 a 数组中的元素，区间为\([81,88]\)。
那么问题来了，\(lowbit(x)\)怎么求？

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

板子

struct BIT{
	int num;
	vector<ll> c;
	BIT(int x) : num(x), c(x + 1, 0) {}
	int lowbit(int x){ return x & (-x); }
	void update(int x, ll v){// 单点修改
		while(x <= num){
			c[x] += v;
			x += lowbit(x);
		}
		return ;
	}
	void update(int l, int r, ll v){// 差分，[l, r]区间修改
		if(l > r) return ;
		update(l, v);
		update(r + 1, - v);
		return ;
	}
	ll query(int x){
		ll res = 0;
		while(x){
			res += c[x];
			x -= lowbit(x);
		}
		return res;
	}
	ll query(int l, int r){
		return query(r) - query(l - 1);
	}
};

建树

怎么由原数组\(a[x]\)转换为数组\(c[x]\)？
目前学会了一种方法

前缀和法求c[x]

for(int i=1;i<=n;++i){
	c[i]=qz[i]-qz[i-lowbit(i)];
}

之后就是应用lowbit(x)，对所给a[x]进行维护

利用单点修改建树

单点修改、区间查询

1.https://loj.ac/p/130

下面给出代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const ll maxm=1e6+5,mod=1e9+7;
ll c[maxm],a[maxm],n,q,qz[maxm];

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

ll getsum(ll x){//区间查询
	ll ans=0;
	while(x>0){
		ans=ans+c[x];
		x=x-lowbit(x);
	}
	return ans;
}

void update(int x,int v){//单点修改
	while(x<=n){
		c[x]+=v;
		x=x+lowbit(x);
	}
	return ;
}

void pre(){
	for(int i=1;i<=n;++i){
		c[i]=qz[i]-qz[i-lowbit(i)];
	}
	return ;
}

void solve(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
		qz[i]+=qz[i-1]+a[i];
	}
	pre();
	ll a,c,x;
	while(q--){
		cin>>a>>c>>x;
		if(a==1){
			update(c,x);
		}else{
			cout<<getsum(x)-getsum(c-1)<<"\n";
		}
	}
	return ;
}

signed main(){
	int _=1;
	// cin>>_;
	while(_--){
		solve();
	}
	return 0;
}

2.https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
树状数组模板题，单点修改，区间查询

区间修改，单点查询

利用树状数组维护差分数组，实现区间修改，单点查询

树状数组 2 ：区间修改，单点查询

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const ll maxm=1e6+5,mod=1e9+7;
ll c[maxm],a[maxm],n,q,qz[maxm];

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

ll getsum(ll x){
	ll ans=0;
	while(x>0){
		ans=ans+c[x];
		x=x-lowbit(x);
	}
	return ans;
}

void update(int x,int v){//保持单点修改的update
	while(x<=n){
		c[x]+=v;
		x=x+lowbit(x);
	}
	return ;
}

void pre(){
	for(int i=1;i<=n;++i){
		c[i]=qz[i]-qz[i-lowbit(i)];//依旧是利用前缀和建树
	}
	return ;
}

void solve(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
		qz[i]+=qz[i-1]+a[i]-a[i-1];//前缀和数组为a的差分数组的前缀和数组
	}
	pre();
	ll c,l,r,x;
	while(q--){
		cin>>c;
		if(c==1){
			cin>>l>>r>>x;
			update(l,x);//区间修改两步
			update(r+1,-x);
		}else{
			cin>>x;
			cout<<getsum(x)<<'\n';
		}
	}
	return ;
}

signed main(){
	int _=1;
	// cin>>_;
	while(_--){
		solve();
	}
	return 0;
}

区间修改，区间查询

在区间修改，单点查询的基础上实现区间查询
最直接的，我们要快捷实现区间查询，就是要在上面实现的差分数组快速的求前缀和，简单的再开一个树状数组？显然不可能，让我们先找找差分数组前缀和与区间和的关系
位置p的前缀和：\(\sum_{i=1}^{p}{a[i]}=\sum_{i=1}^{p}{\sum_{j=1}^{i}{d[j]}}\)
对于右侧的\(d[j]\)加以分析，可以发现\(d[1]被引用了p次，d[2]被引用了p-1次,...\)，那么我们可以写出：
位置p的前缀和：\(\sum_{i=1}^{p}{\sum_{j=1}^{i}{d[j]}}=\sum_{i=1}^{p}{d[i]*(p-i+1)}=(p+1)*\sum_{i=1}^{p}{d[i]}-\sum_{i=1}^{p}{d[i]}*i\)

那么我们可以维护两个数组的前缀和：
一个数组是\(sum1[i]=\sum d[i]\)，
另一个数组是\(sum2[i]=\sum i*d[i]\)

对于要求的两大操作
查询
位置p的前缀和即： (p + 1) * sum1数组中p的前缀和 - sum2数组中p的前缀和。
区间 [l, r] 的和即：位置 r 的前缀和 - 位置 l 的前缀和。
修改
对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改
对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x

例题：

#132. 树状数组 3 ：区间修改，区间查询

看到这如果你问为什么没有单点修改，单点查询啊？
sorry，这个这么简单，你拍拍脑袋就知道，数组都支持这个操作了！

其他拓展内容

求解全局逆序对问题

详见本篇随笔

树状数组

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板子

建树

单点修改、区间查询

区间修改，单点查询

区间修改，区间查询

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