数论基础+裴蜀定理+线性同余方程+乘法逆元+中国剩余定理

目录

• 数论基础
  • 整除
  • 同余
• 裴蜀定理
  • 进一步的例题
  • 相关资料
• 求不定方程
  • 求$ax+by=gcd(a,b)$
  • 求$ax+by=c$
  • 相关资料
• 线性同余方程
  • 利用exgcd求解线性同余方程
  • 相关资料
• 乘法逆元
  • 求解数n在模 p 意义下的乘法逆元
  • 线性求解 $1,2,\dots ,n$ 中每个数关于 p 的逆元
  • 相关资料
  • 取余题目集合
• 中国剩余定理 CRT
  • 相关资料

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数论基础

整除

整除的定义：设 $a,b\in \mathbf{Z}，a\ne 0$。如果 $\mathrm{\exists }q\in \mathbf{Z}$，使得 b=aq，那么就说 b 可被 a 整除，记作 $a\mid b$；b 不被 a 整除记作 $a\nmid b$。

同余

同余的定义：设整数 $m\ne 0$。若 $m\mid (a-b)$，称 m 为模数（模），a 同余于 b 模 m，b 是 a 对模 m 的剩余。记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。
否则，a 不同余于 b 模 m，b 不是 a 对模 m 的剩余。记作 $a\not\equiv b(\mathrm{mod}m)$。
这样的等式，称为模 m 的同余式，简称同余式。
根据整除的性质，上述同余式也等价于 $a\equiv b(\mathrm{mod}(-m))$。
如果没有特别说明，模数总是正整数。
式中的 b 是 a 对模 m 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 b 的范围，相应的有 a 对模 m 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

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裴蜀定理

设 a,b 是不全为零的整数，则存在整数 x,y, 使得 $ax+by=gcd(a,b)$
进一步：
设自然数 a、b 和整数 n。a 与 b 互素（前提）。考察不定方程：ax+by=n，其中 x 和 y 为自然数。如果方程有解，称 n 可以被 a、b 表示。
记 C=ab-a-b。由 a 与 b 互素，C 必然为奇数。则有结论：对任意的整数 n，n 与 C-n 中有且仅有一个可以被表示。
即：可表示的数与不可表示的数在区间 [0,C] 对称（关于 C 的一半对称）。0 可被表示，C 不可被表示；负数不可被表示，大于 C 的数可被表示。

进一步的例题

洛谷 P3951 买不到的数目

相关资料

524 裴蜀定理

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求不定方程

求$ax+by=gcd(a,b)$

已知a，b，求解$ax+by=gcd(a,b)$的一组整数解
利用扩展欧几里得算法求解，原理可见相关资料

int gcd(int a, int b){ if(b == 0) return a; else return gcd(b, a % b); }
 
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//返回gcd
	if(b == 0) {x=1, y=0; return a;}
	int x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a%b, x1, y1);
	x = y1, y = x1-a/b*y1;
	return d;
}
 
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//不返回gcd
	if(b==0){
		x=1; y=0; return ;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return ;
}

最终的$(x_0,y_0)$即为特解，通解的构造利用 $ax+by=0$ ，可得$x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k；y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k$

求$ax+by=c$

已知a,b,c，求解$ax+by=c$的一组整数解

• 若 $gcd(a,b)\mid c$，则先利用exgcd求得$ax+by=gcd(a,b)$的解，再乘以$c/gcd(a,b)$，即得原方程的特解$(x_0,y_0)$
• 反之，即$gcd(a,b)\nmid c$，则无整数解

相关资料

525 不定方程 扩展欧几里得算法原理
扩展欧几里得算法(简单易懂，详细分析)

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线性同余方程

形如 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 的方程称为 线性同余方程（Congruence Equation）。其中，a、b 和 m 为给定整数，x 为未知数。需要从区间 [0, n-1] 中求解 x，当解不唯一时需要求出全体解。

利用exgcd求解线性同余方程

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b == 0){x = 1, y = 0; return a;}
	int x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a%b, x1, y1);
	x = y1, y = x1-a/b*y1;
	return d;
}
int main(){
	int a, b, m, x, y;
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
	int d = exgcd(a, m, x, y);
	if(b%d == 0) 
		printf("%d", 1ll*x*b/d%m);
	else puts("none");
	return 0;
}

相关资料

526 同余方程 乘法逆元 扩展欧几里得算法

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乘法逆元

求解数n在模 p 意义下的乘法逆元

当a与m互质时，对于方程$ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，求a的乘法逆元x（0<x<m）
解法一： 费马小定理（当m为质数时）
数a的乘法逆元$x=a^{m-2}$
可利用快速幂方便求解
故，详见快速幂板子

解法二： 扩展欧几里得法（当$gcd(a,m)=1$时）

• 先将乘法逆元形式转化为不定方程形式，变形等价$ax+my=1$
• 再利用exgcd求解$ax+my=gcd(a,m)$的解x，那么$(x\mathrm{\%}m+m)\mathrm{\%}m$即为最终答案

exgcd板子：

void exgcd(int a, int b, int & x, int & y){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return;
}
 
cout << (p + x % p) % p << '\n';

线性求解 $1,2,\dots ,n$ 中每个数关于 p 的逆元

迭代实现

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++ i){
	inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
	cout << inv[i] << '\n';
}

相关资料

1. https://oi-wiki.org/math/number-theory/inverse/
2. bilibili 视频

取余题目集合

1. https://atcoder.jp/contests/abc275/tasks/abc275_b 小坑勿怪！！！
   代码——qiansui_code
2. https://loj.ac/p/110 模板题
   代码——qiansui_code——扩展欧几里得法
   代码——qiansui_code——费马小定理
   3.有意思的一题：
   https://atcoder.jp/contests/abc298/tasks/abc298_d
   运用到取余+快速幂+思维

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中国剩余定理 CRT

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1$, $n_2$, $\cdots$, $n_k$ 两两互质）：

$$\{\begin{array}{ll}x& \equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x& \equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ & ⋮\\ x& \equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$$

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

求解过程：

• 计算所有模数的积 n；
• 对于第 i 个方程：
  计算 $m_i=\frac{n}{n_i}$
  计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的 逆元 $m_i^{-1}$
  计算 $c_i=m_i{m}_i^{-1}$（不要对 $n_i$ 取模）
• 方程组在模 n 意义下的唯一解为：$x=\sum _{i=1}^k{a}_i{c}_i(\mathrm{mod}n)$

板子：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
ll n, a[11], b[11];
 
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){x=1, y=0; return a;}
	ll d, x1, y1;
	d = exgcd(b, a%b, x1, y1);
	x = y1, y = x1-a/b*y1;
	return d;
}
ll CRT(ll m[], ll r[]){
	ll M = 1, ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
	for(int i=1; i<=n; i++){
		ll c = M/m[i], x, y;
		exgcd(c, m[i], x, y);
		ans = (ans+r[i]*c*x%M)%M;
	}
	return (ans%M + M)%M;
}
int main(){
	scanf("%lld", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%lld%lld", a+i, b+i);
	printf("%lld\n", CRT(a,b));
	return 0;
}

相关资料

527 中国剩余定理