多指手抓取静力学及抓取约束与特性

多指手，或者说灵巧手，往简单来说是由n台机械臂通过协同合作来完成特定任务的一种耦合系统。只不过这里的机械臂为了极大的缩小体积，选用了微型驱动装置或者说是将驱动装置外置的方式。

多指手抓取分为强力抓取（power grasp，或称手掌抓取）和精确抓取（precision grasp，或称指尖抓取），强力抓取情况下运动和力的分析控制相比于精确抓取更加复杂，所以这里只讨论精确抓取的静力学，即指尖与物体表面接触的情况。

Ⅰ. 静力学坐标系定义

和机械臂坐标系定义类似，整个系统包括全局坐标系 $C_{G}$ 、关节坐标系，另外定义了手指基坐标系 $C_{b}$ 、指尖坐标系 $C_{F}$ 、物体接触坐标系 $C_{oc}$ 、手指接触坐标系 $C_{fc}$ ，物体坐标系 $C_{ob}$ 。

single finger contact model

其中物体接触坐标系 $C_{oc}$ 和手指接触坐标系 $C_{fc}$ 以手指和物体的接触点为原点，以物体表面接触点的内法线方向为Z轴方向。

Ⅱ. 手指与物体的接触模型

以下各式中 $F_{c_{i}}$ 均表示广义接触力。

无摩擦点接触（Frictionless point contact）

该模型描述的接触关系中，物体与手指只接触于一点，且该点不存在摩擦力，只存在法向力，所以这个力在除z轴外的其它五个维度全为零。

$F_{c_{i}} = \left [ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0\\ \end{matrix} \right ] ^{T}f_{c_{i}},\qquad f_{c_{i}} \geq0$

摩擦点接触（Point contact with friction）

该模型描述的接触关系中，物体与手指只接触于一点，且该点存在摩擦力和法向力，摩擦力方向为沿物体接触表面切线方向，此时接触力必须在以表面法线为轴线的摩擦锥内才能保证手指与物体的稳定接触。摩擦角由摩擦系数 $\mu$ 决定。

$F_{c_{i}} = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right ] f_{c_{i}},\qquad f_{c_{i}} \in FC_{c_{i}}$

$式中，FC_{c_{i}}=\left\{ f\in R^3 : \sqrt{f_{1}^2 +f_{2}^2} <\mu f_{3}, f_{3}\geq0\right\}$

软手指接触（Soft finger contact）

顾名思义，该情况下接触不再是一个点，而是一个面，多个点受力必然会产生沿法线方向的力矩，此时接触力就扩展到了四维。另外涉及到力矩摩擦系数 $\gamma$

$F_{c_{i}} = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 0\\ 0 & 0 & 0& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right ] f_{c_{i}},\qquad f_{c_{i}} \in FC_{c_{i}}$

$式中，FC_{c_{i}}=\left\{ f\in R^4 : \sqrt{f_{1}^2 +f_{2}^2} <\mu f_{3}, f_{3}\geq0,|f_{4}|\leq\gamma f_{3}\right\}$

Ⅲ. 抓取映射矩阵

多指抓取情况下，手指与物体之间的接触力与物体所受合力之间的映射关系可以由抓取矩阵 $G_{:}R^m \rightarrow R^p$ 来表示， $其中m=m_{1}+m_{2}+......+m_{k}$ ，k为手指个数， $m_{i}$ 是第i个手指与物体间接触向量的维数，p在三维空间自然是6。

于是有