一些高中解析几何的通解

最近学解析几何，发现很多题可以直接套通解，于是把通解求了个遍。

点和点

两点确定一条直线

求 \(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\) 所在的直线 \(l\)

• 图表展示

因为 \(P_1,P_2\subset l\)

数学表示

设： $$l: Ax+By+C=0$$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{l} Ax_1+By_1+C=0 \\ Ax_2+By_2+C=0 \end{array} \right. $$

所以解得

\[l:(y_2-y_1)x+(x_1-x_2)y+x_2y_1-x_1y_2=0 \]

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两点连线中垂线

求 \(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\) 连线的中垂线 \(l\)

• 图表展示

因为 \(P_1,P_2\subset P_1P_2\) ， \(l\perp P_1P_2\) ， \(\frac{P_1+P_2}{2}\subset l\)

数学表示

设： $$ \begin{aligned} l&:Ax+By+C=0 \\ P_1P_2&:A_0x+B_0y+C_0=0 \end{aligned} $$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} A_0x_1+B_0y_1+C_0=0 \\ A_0x_2+B_0y_2+C_0=0 \end{array} \right\} \href{#两点确定一条直线}{\mbox{两点确定一条直线}} \\ AA_0+BB_0=0 \\ A\frac{x_1+x_2}{2}+B\frac{y_1+y_2}{2}+C=0 \end{array} \right. $$

所以解得

\[\begin{aligned} l&:2(x_1-x_2)x+2(y_1-y_2)y+x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2=0 \\ &即 \\ l&:(x_1-x_2)(2x-x_1-x_2)+(y_1-y_2)(2y-y_1-y_2)=0 \end{aligned} \]

直线和点

点到直线的距离

求 \(l: Ax+By+C=0\) 到 \(P(x_0,y_0)\) 的距离 \(d\)

根据高中数学书，解得

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

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线关于点对称

求 \(l: Ax+By+C=0\) 关于 \(P_0(x_0,y_0)\) 对称所得直线 \(l'\)

• 图表展示

因为 \(P_0\) 到两线距离相等，两线不重合

数学表示

设： $$l': A'x+B'y+C'=0$$ 则有 $$ \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=-\frac{A'x_0+B'y_0+C'}{\sqrt{A'^2+B'^2}} $$

所以解得

\[\begin{aligned} l'&:Ax+By-C-2Ax_{0}-2By_{0}=0 \\ &即 \\ l'&:Ax+By+C-2(Ax_0+By_0+C)=0 \end{aligned} \]

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点关于线对称

求 \(P(x_0,y_0)\) 关于直线 \(l: Ax+By+C=0\) 对称所得点 \(P'\)

• 图表展示

因为 \(P',P\subset PP'\) ，两点到 \(l\) 距离相等， \(PP'\perp l\)

数学表示

设： $$ \begin{aligned} P'&(x_0',y_0') \\ PP'&:A_0x+B_0y+C_0=0 \end{aligned} $$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} A_0x_0+B_0y_0+C_0=0 \\ A_0x_0'+B_0y_0'+C_0=0 \end{array} \right\} \href{#两点确定一条直线}{\mbox{两点确定一条直线}} \\ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_0'+By_0'+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ AA_0+BB_0=0 \end{array} \right. $$

所以解得

\[\begin{aligned} &T=\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\ &P'(x_0-2AT,y_0-2BT) \end{aligned} \]

直线和直线

两线交点

求 \(l_1: A_1x+B_1y+C_1=0\) 与 \(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\) 的交点 \(P\)

因为 \(P\subset l_1,P\subset l_2\)

数学表示

设： $$ P(x,y) $$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2=0 \end{array} \right. $$

所以解得

\[P(\frac{B_1C_2-C_1B_2}{A_1B_2-B_1A_2},\frac{C_1A_2-A_1C_2}{A_1B_2-B_1A_2}) \]

线关于线对称

求 \(l: Ax+By+C=0\) 关于 \(l_0:A_0x+B_0y+C_0=0\) 对称所得直线 \(l'\)

• 图表展示

在 \(l\) 上找一个点 \(P(x_0,y_0)\) ，做 \(P\) 关于 \(l_0\) 的对称点 \(P'(x_0',y_0')\)。
因为 \(P',P\subset PP'\) ，两点到 \(l_0\) 距离相等， \(PP'\perp l_0\) ，\(P\subset l\) ， \(P'\subset l'\)

数学表示

设： $$ \begin{aligned} l'&:A'x+B'y+C'=0 PP'&:A_Px+B_Py+C_P=0 \end{aligned} $$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} A_Px_0+B_Py_0+C_P=0 \\ A_Px_0'+B_Py_0'+C_P=0 \\ \frac{|A_0x_0+B_0y_0+C_0|}{\sqrt{A_0^2+B_0^2}}=\frac{|A_0x_0'+B_0y_0'+C_0|}{\sqrt{A_0^2+B_0^2}} \\ A_PA_0+B_PB_0=0 \end{array} \right\} \href{#点关于线对称}{\mbox{点关于线对称}} \\ Ax_0+By_0+C=0 \\ A'x_0'+B'y_0'+C'=0 \end{array} \right. $$

所以解得

\[\begin{aligned} &P(\frac{BC_0-CB_0}{AB_0-BA_0},\frac{CA_0-AC_0}{AB_0-BA_0}) \\ &t_1=A_0B_0 \\ &t_2=A_0^2-B_0^2 \\ &l_1':(2Bt_1+At_2)(x-P_x)+(2At_1-Bt_2)(y-P_y)=0 \end{aligned} \]

两线夹角平分线

求 \(l_1: A_1x+B_1y+C_1=0\) 和 \(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\) 形成的角的平分线 \(l\)

• 图表展示

在 \(l_1\) 上找一个点 \(P(x_0,y_0)\) ，做 \(P\) 关于 \(l\) 的对称点 \(P'(x_0',y_0')\)。
因为 \(P',P\subset PP'\) ，两点到 \(l\) 距离相等， \(PP'\perp l\) ，\(P\subset l_1\) ， \(P'\subset l_2\)

数学表示

设： $$ \begin{aligned} l&:Ax+By+C=0 PP'&:A_Px+B_Py+C_P=0 \end{aligned} $$ 则有 $$ \left \{ \begin{array}{lr} \left. \begin{array}{lr} A_Px_0+B_Py_0+C_P=0 \\ A_Px_0'+B_Py_0'+C_P=0 \\ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_0'+By_0'+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ A_PA+B_PB=0 \\ A_1x_0+B_1y_0+C_1=0 \\ A_2x_0'+B_2y_0'+C_2=0 \end{array} \right\} \href{#线关于线对称}{\mbox{线关于线对称}} \\ \end{array} \right. $$

所以解得

\[\begin{aligned} &P(\frac{B_1C_2-C_1B_2}{A_1B_2-B_1A_2},\frac{C_1A_2-A_1C_2}{A_1B_2-B_1A_2}) \\ &K_1=\sqrt{A_1^2+B_1^2} \\ &K_2=\sqrt{A_2^2+B_2^2} \\ &l:\begin{array}{c} (A_2K_1+A_1K_2)(x-P_x)+(B_2K_1+B_1K_2)(y-P_y)=0 \\ 或 \\ (B_2K_1+B_1K_2)(x-P_x)-(A_2K_1+A_1K_2)(y-P_y)=0 \end{array} \end{aligned} \]

四种曲线和点

点结论一览

探究圆、椭圆、双曲线、抛物线与 \(P_1(x_1,y_1)\) 的关系

• 圆图表展示
• 椭圆图表展示
• 双曲线图表展示
• 横向抛物线图表展示
• 纵向抛物线图表展示

结论	圆	椭圆	双曲线	横向抛物线
方程 $C$	$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$	$$\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1$$	$$\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=Z,Z=\pm 1$$	$$x^2=2py^2$$
$D$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=x_1-x_0 \\ y=y_1-y_0 \end{array}\right.$$
$L$	$$D_x^2+D_y^2$$	$$My_1^2+Nx_1^2$$	$$\left \{ \begin{array}{ll} My_1^2-Nx_1^2 &,Z=1\\ Nx_1^2-My_1^2 &,Z=-1 \end{array}\right.$$
$Q$	$$\sqrt{L-R^2}$$	$$\sqrt{L-MN}$$	$$\sqrt{L+MN}$$	$$\sqrt{y_1^2-2px_1}$$
$J$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=RD_x\pm QD_y \\ y=RD_y\mp QD_x \end{array}\right.$$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=Nx_1\pm Qy_1 \\ y=My_1\mp Qx_1 \end{array}\right.$$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=-Nx_1\pm Qy_1 \\ y=-My_1\pm Qx_1 \end{array}\right.$$	$$y_1\pm Q$$
过 $P_1$ 的切线	$$J_x(x-x_1)+J_y(y-y_1)=0$$		$$J_x\left(x-x_{1}\right)-J_y\left(y-y_{1}\right)=0$$	$$-p(x-x_1)+J(y-y_1)=0$$
切线的切点	$$P_0+\frac{R}{L}J$$	$$(\frac{M}{L}J_x,\frac{N}{L}J_y)$$		$$(\frac{y_1}{p}J-x_1,J)$$
切点弦	$$D_{x}\left(x-x_{0}\right)+D_{y}\left(y-y_{0}\right)=R^{2}$$	$$\frac{xx_{1}}{M}+\frac{yy_{1}}{N}=1$$	$$\frac{xx_{1}}{M}-\frac{yy_{1}}{N}=Z$$	$$y_1y=px+px_1$$
切点弦的中点	$$P_0+\frac{R^2}{L}D$$	$$\frac{MN}{L}P_{1}$$	$$\frac{-MN}{L}P_{1}$$	$$(\frac{y_1^2}{p}-x_1,y_1)$$
切点弦长	$$\frac{2QR}{\sqrt{L}}$$	$$\frac{2Q}{L}\sqrt{M^{2}y_{1}^{2}+N^{2}x_{1}^{2}}$$		$$\frac{2Q}{p}\sqrt{y_1^2+p^2}$$

点条件一览

求切点弦 \(l_c\)

因为高中二级结论

求切点 \(P_T\)

因为 \(P_T\subset C, P_T\subset l_c\)

求切线 \(l_T\)

设：切点分别为 \(P_{T1}\) 、 \(P_{T2}\)。
因为 \(P_{T1},P_{T2}\subset l_T\)

求切点弦中点 \(P\)

设：切点分别为 \(P_{T1}\) 、 \(P_{T2}\)。
因为 \(P=\frac{P_{T1}+P_{T2}}{2}\)

求切点弦长 \(L_c\)

设：切点分别为 \(P_{T1}\) 、 \(P_{T2}\)。
因为 \(L_c=|P_{T1}P_{T2}|\)

三种曲线和线

线结论一览

探究圆、椭圆、双曲线与 \(l:Ax+By+C\) 的关系

• 圆图表展示
• 椭圆图表展示
• 双曲线图表展示
• 横向抛物线图表展示

结论	圆	椭圆	双曲线	横向抛物线
方程 $C$	$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$	$$\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1$$	$$\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=Z,Z=\pm 1$$	$$x^2=2py^2$$
$L$	$$A^2+B^2$$	$$A^2M+B^2N$$	$$\left \{ \begin{array}{ll} B^2N-A^2M &,Z=1\\ A^2M-B^2N &,Z=-1 \end{array}\right.$$	$$B^2p^2$$
$D^2$	$$\frac{(Ax_0+By_0+C)^2}{L}$$
$Q$	$$\sqrt{L}\sqrt{R^2-D^2}$$	$$mn\sqrt{L-C^2}$$	$$mn\sqrt{L+C^2}$$	$$\sqrt{L-2ACp}$$
$J$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=-AC+B(Bx_0-Ay_0) \\ y=-BC+A(Ay_0-Bx_0) \end{array}\right.$$	$$\left \{ \begin{array}{l} x=-ACM \\ y=-BCN \end{array}\right.$$	$$\left \{ \begin{array}{ll} \left \{ \begin{array}{l} x=ACM \\ y=-BCN \end{array}\right. &,Z=1 \\ \left \{ \begin{array}{l} x=-ACM \\ y=BCN \end{array}\right. &,Z=-1 \end{array}\right.$$	$$\frac{-Bp\pm Q}{A}$$
交点	$$\frac{1}{L}(J_x\pm BQ,J_y\mp AQ)$$			$$(-\frac{B}{A}J-\frac{C}{A},J)$$
弦的中点	$$\frac{1}{L}J$$			$$(-\frac{B}{A}(-\frac{Bp}{A})-\frac{C}{A},-\frac{Bp}{A})$$
弦长	$$\frac{2Q}{\sqrt{L}}$$	$$|\frac{2Q}{L}\sqrt{A^2+B^2}|$$		$$\frac{2Q}{A^2}\sqrt{A^2+B^2}$$