Hall 定理

Conventions

我们约定 \(G=(V,E)\) 是一个标准的二分图，使用 \(V_1,V_2\) 来描述两侧的不同的集合，约定 \(V_1\cup V_2=V\) 且 \(\left\lvert V_1\right\rvert<\left\lvert V_2\right\rvert\)。

Theorem

一个二分图存在完备匹配的充要条件是对于左部点大小为 \(k\) 的任意子集 \(S\)，这些点的邻域 \(N(S)\) 的大小不小于 \(k\)。

Proof

首先证明必要性，如果一个点集的 \(N(S)\) 不足 \(|S|\)，那么该集合不能找到一个完备匹配，与定义相反。

然后证明充分性。考虑使用归纳，分为两种情况：

1. 如果存在一个严格子集 \(S\) 满足 \(S=N(S)\)，则子集本身存在完备匹配。

   如果删去 \(S,N(S)\) 后出现不满足条件的集合 \(T\)，那么在原二分图中取子集 \(S\cup T\)，必然有 \(|N(S\cup T)|<|S\cup T|\)，与假设矛盾。

   那么由此证明如果存在 \(|S|=|N(S)|\)，\(\text{Hall}\) 定理成立。

2. 如果所有子集的 \(|N(S)|\) 均大于 \(|S|\)，那么找到一个点 \(u\) 并找到 \((u,v)\in E\)，删掉 \(u,v\in V,(u,*),(*,v)\in E\)。

   不难发现此时剩下的二分图每个子集 \(S\) 都能满足 \(|N(S)|\geq |S|\)，而且因为删掉了一个点，问题是原问题的子问题。

   根据归纳假设，\(\text{Hall}\) 定理在此情况下也成立。