弱题
问题 D: 弱题
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB题目描述
有M个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为1~N且为整数,标号为i的球有ai个,并保证Σai = M。
每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为1/M),若这个球标号为k(k < N),则将它重新标号为k + 1;若这个球标号为N,则将其重标号为1。(取出球后并不将其丢弃)
现在你需要求出,经过K次这样的操作后,每个标号的球的期望个数。
输入
第1行包含三个正整数N,M,K,表示了标号与球的个数以及操作次数。
第2行包含N个非负整数ai,表示初始标号为i的球有ai个。
输出
应包含N行,第i行为标号为i的球的期望个数,四舍五入保留3位小数。
样例输入
2 3 2
3 0
样例输出
1.667
1.333
【数据规模与约定】
对于10%的数据,N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10;
对于20%的数据,N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20;
对于30%的数据,N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100;
对于40%的数据,M ≤ 1000, K ≤ 1000;
对于100%的数据,N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。
当前状态只会由上一个点转移得到,f[i]=(m-1)/m*f[i]+1/m*f[i-1],
又因为循环的次数极大,考虑用矩阵快速幂。
优化:如果维护的矩阵每次都要全乘一遍,绝对超时,
但 1/m (m-1)/m 0
0 1/m (m-1)/m
(m-1)/m 0 1/m
可见下一排由上一排平移得到,所以只乘一排,复制下去就行
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int n,k,m; double t[1005],a[1001][1005],b[1005]; int read() { int sum=0,f=1;char x=getchar(); while(x<'0'||x>'9'){if(x=='-')f=-1;x=getchar();} while(x>='0'&&x<='9')sum=sum*10+x-'0',x=getchar(); return sum*f; } void cheng_2() { memset(t,0,sizeof(t)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) t[i]+=a[1][j]*a[j][i]; for(int i=1;i<=n;i++) a[1][i]=t[i]; for(int i=2;i<=n;i++) { for(int j=2;j<=n;j++) a[i][j]=a[i-1][j-1]; a[i][1]=a[i-1][n]; } } void cheng_1() { memset(t,0,sizeof(t)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) t[i]+=b[j]*a[i][j]; for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=t[i]; } int main() { //freopen(".in","r",stdin); //freopen(".out","w",stdout); n=read();m=read();k=read(); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=(double)read(); a[1][1]=(double)(m-1)/m;a[1][n]=(double)1/m; for(int i=2;i<=n;i++) a[i][i]=(double)(m-1)/m,a[i][i-1]=(double)1/m; while(k) { if(k&1)cheng_1(); cheng_2(); k/=2; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf\n",b[i]); }