主成分分析法

该方法可以用来数据降维，把很多的评价指标减少为几个主要的评价指标，即主成分，同样这个方法也可以用来求权重

主要步骤

设有m个评价对象和n个评价指标

a_{i j}^{^{'}} = \frac{a_{i j} - μ_{j}}{s_{j}} (i 是 评 价 对 象 ， j 是 评 价 指 标)

$a_{ij}^{'}=\frac{a_{ij}-\mu _j}{s_j} (i是评价对象，j是评价指标)$

式中：μ是样本均值，s是样本标准差

r_{i j} = \frac{\sum_{k = 1}^{m} a_{k i}^{^{'}} * a_{k j}^{^{'}}}{m - 1} （ i ， j = 1, 2, . . ., n ）

$r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}a_{ki}^{'}*a_{kj}^{'}}{m-1}（i，j=1,2,...,n）$

k i是第k个评价对象的第i个指标，k j是第k个评价对象的第j个指标，求和是为了计算所有k个评价对象的第i个指标，第j个指标的关系

r为第i个指标和第j个指标的总相关系数，与评价对象无关，只是评价指标间的相互关系，最后得到R为一个n*n的矩阵

计算出R的特征值λ1>λ2>λ3>...λn>0,和对应的特征向量u1,u2,...,un，那么构成n个新的指标向量

y_{i} = u_{1 i} * x_{1} + u_{2 i} * x_{2} + . . . + u_{n i} * x_{n} (i = 1, 2, . ., n)

$y_i=u_{1i}*x_1+u_{2i}*x_2+...+u_{ni}*x_n(i=1,2,..,n)$

其中

x_{i} = (a_{i 1}^{^{'}}, a_{i 2}^{^{'}}, . . ., a_{i n}^{^{'}}) (即 标 准 化 后 的 原 指 标 向 量)

$x_i=(a_{i1}^{'},a_{i2}^{'},...,a_{in}^{'})(即标准化后的原指标向量)$

称 y_{1} 为 第 1 主 成 分 ， y_{2} 为 第 2 主 成 分 ， y_{3} 为 第 3 主 成 分, . . ., y_{n} 为 第 n 出 主 成 分

$称y_1为第1主成分，y_2为第2主成分，y_3为第3主成分,...,y_n为第n出主成分$

a. 计算特征值λ的信息贡献率和累积贡献率

称 b_{j} = \frac{λ_{j}}{\sum_{k = 1}^{n} λ_{k}} 为 主 成 分 y_{i} 的 信 息 贡 献 率

$称b_j=\frac{\lambda _j}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_k}为主成分y_i的信息贡献率$

称 α_{p} = \frac{\sum_{k = 1}^{p} λ_{k}}{\sum_{k = 1}^{n} λ_{k}} 为 主 成 分 y_{1} . . . y_{p} 的 累 积 贡 献 率

$称\alpha_p=\frac{\sum_{k=1}^{p} \lambda_k}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_k}为主成分y_1...y_p的累积贡献率$

实际上就是对特征值λ的归一化过程，将其都约束在0,1范围内
当累积贡献率接近1（达到0.85以上），就可以选择这前p个主成分来代替原来的n个指标变量，从而可以对这p个主成分进行总和分析

b. 计算综合得分：

Z = \sum_{j = 1}^{p} b_{j} * y_{j}

$Z=\sum_{j=1}^{p}b_j*y_j$

b为第j个主成分的信息贡献率，y为第j个主成分
就是以各个主成分的贡献率b为权重对各个主成分进行加权求和
而各个主成分其实就是以特征值λ为权重对各个标准化指标向量求和

posted on 2020-12-18 20:50 QSun 阅读(653) 评论(0) 编辑收藏举报