主成分分析法
主成分分析法
该方法可以用来数据降维，把很多的评价指标减少为几个主要的评价指标，即主成分，同样这个方法也可以用来求权重
主要步骤
设有m个评价对象和n个评价指标
- 对原始数据进行标准化处理
\[a_{ij}^{'}=\frac{a_{ij}-\mu _j}{s_j} (i是评价对象，j是评价指标)
\]
式中：μ是样本均值，s是样本标准差
- 计算相关系数矩阵R
\[r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}a_{ki}^{'}*a_{kj}^{'}}{m-1}（i，j=1,2,...,n）
\]
k i是第k个评价对象的第i个指标，k j是第k个评价对象的第j个指标，求和是为了计算所有k个评价对象的第i个指标，第j个指标的关系
r为第i个指标和第j个指标的总相关系数，与评价对象无关，只是评价指标间的相互关系，最后得到R为一个n*n的矩阵
- 计算特征值和特征向量
计算出R的特征值λ1>λ2>λ3>...λn>0,和对应的特征向量u1,u2,...,un，那么构成n个新的指标向量
\[y_i=u_{1i}*x_1+u_{2i}*x_2+...+u_{ni}*x_n(i=1,2,..,n)
\]
其中
\[x_i=(a_{i1}^{'},a_{i2}^{'},...,a_{in}^{'})(即标准化后的原指标向量)
\]
\[称y_1为第1主成分，y_2为第2主成分，y_3为第3主成分,...,y_n为第n出主成分
\]
- 对p(p<=n)个主成分，计算综合评价值
a. 计算特征值λ的信息贡献率和累积贡献率
\[称b_j=\frac{\lambda _j}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_k}为主成分y_i的信息贡献率
\]
\[称\alpha_p=\frac{\sum_{k=1}^{p} \lambda_k}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_k}为主成分y_1...y_p的累积贡献率
\]
实际上就是对特征值λ的归一化过程，将其都约束在0,1范围内
当累积贡献率接近1（达到0.85以上），就可以选择这前p个主成分来代替原来的n个指标变量，从而可以对这p个主成分进行总和分析
b. 计算综合得分：
\[Z=\sum_{j=1}^{p}b_j*y_j
\]
b为第j个主成分的信息贡献率，y为第j个主成分
就是以各个主成分的贡献率b为权重对各个主成分进行加权求和
而各个主成分其实就是以特征值λ为权重对各个标准化指标向量求和
