TJOI2015 概率论

首先很容易得到\(n\)个点的二叉树个数为\(Catalan(n)\)也就是卡特兰数，设为\(f(n)\)。

它的生成函数\(F\)为\(\sum_{i\geq 0} f(i)x^i\)。

根据递推式\(f(i)=\sum_{j=0}^{i-1} f(j)f(i-1-j)\)。

得到生成函数的方程:

\[F=F^2x+1\\ F^2x-F+1=0 \]

得到两根：

\[F_1=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\\ F_2=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\\ \]

由于\(\lim_{x\to 0} F(x)=f(0)=1\)。

\[F1:\\ \lim_{x\to 0}\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{(1+\sqrt{1-4x})'}{(2x)'}\neq 1\\ F2:\\ \lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{(1-\sqrt{1-4x})'}{(2x)'}= 1\\ \]

舍去\(F_1\)。

同时设\(Ans_i\)为\(i\)个点的答案。

\[Ans_i=\frac{\sum_{j=0}^{i-1}(Ans_{i-1-j}+Ans_j)(f_{i-1-j}*f_j)}{f_i} \]

设\(t_i=Ans_i\times f_i\)。

\(T(x)=\sum_{i\geq 0}t_ix^i\)。

根据递推式:

\[T=2TFx+x \]

得到\(T=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}\)。

想得到\(t_n\)的通项公式，需要凑出\(\sqrt{1-4x}\)。

可以对\((xF(x))\)求导得到：

\[(xF(x))'=\frac{(1-\sqrt{1-4x})'}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\frac{T}{x} \]

也就是说\(a_{n-1}\times n \times x^{n-1}=\frac{t_n \times x^{n}}{x}\)。

\(t_n=f_{(n-1)}\times n\)。

\(Ans_n=\frac{t_n}{f_n}\)。

\(f_n=\frac{2n!}{n!n!}-\frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!}\)

\(\frac{f_{n-1}}{f_n}=\frac{n*(n+1)}{(2n)(2n-1)}\)

\(ans_n=\frac{n*(n+1)}{(2n)(2n-1)}\times n=\frac{n*(n+1)}{(2)(2n-1)}\)