环分解和排列的奇偶性

环分解和排列的奇偶性

结论：

环分解之后长度为偶数的环的个数如果是奇数就是奇排列，否则为偶排列。

证明：

考虑一个排列\(1,2,3...n\)，它的环分解是\(\{1,1,1,1..\}\)显然长度为偶数的环为0（是一个偶数）。

然后考虑交换：

1. 两个元素属于同一个环：
   1. 若环是偶数：分裂成两个偶数/0个偶数
   2. 若环是奇数：分裂成一个偶数&一个奇数
2. 两个元素属于不同环：
   1. 两个奇数\(\rightarrow\) 一个偶数
   2. 两个偶数\(\rightarrow\) 一个偶数
   3. 一奇一偶\(\rightarrow\)一个奇数