[USACO20DEC] Cowmistry P 题解

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这题是一个非常恶心的分类讨论题。
首先可以将所有的二进制建在一个trie树上，然后进行dp。
设\(dp[i]\)表示三个二进制的LCA是属于i的子树。
然后一个显然的转移：\(dp[i]=dp[l[i]]+dp[r[i]]\)，也就是LCA分别属于两个儿子的子树，或者三个数的LCA正好是\(i\)。也就是有一个走到了一边，两个到了另一边。
可以发现难以用这个dp状态算分叉的情况。
所以我们引入\(dp2[i][j]\)表示两个属于i的子树，一个属于j的子树，需要哪个落单的必须和那两个xor起来<=k，\(i\neq j\)。可以发现，到了这一步前面的所有数\(xor\)起来正好是k的前缀。
所以我们可以通过\(i\)推出\(j\)。也就是说，我们只需要记录\(dp2[i]\)就好了。
\(dp2[i]\)的转移:\(dp2[l[i]]+dp2[r[i]]+那两个在i处再次分叉+已经可以保证\leq k\)。
然后再次分叉的又不好算了，我们再引入\(dp1[i][j]\)。
表示一个在i的子树，一个在j的子树，的方案数，可以用上面的观察，优化到一维\(dp1[i]\)。转移也比较简单。

/*
{
######################
#       Author       #
#        Gary        #
#        2020        #
######################
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define rb(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define rl(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define LL long long
#define IT iterator
#define PB push_back
#define II(a,b) make_pair(a,b)
#define FIR first
#define SEC second
#define FREO freopen("check.out","w",stdout)
#define rep(a,b) for(int a=0;a<b;++a)
#define SRAND mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count())
#define random(a) rng()%a
#define ALL(a) a.begin(),a.end()
#define POB pop_back
#define ff fflush(stdout)
#define fastio ios::sync_with_stdio(false)
#define check_min(a,b) a=min(a,b)
#define check_max(a,b) a=max(a,b)
using namespace std;
//inline int read(){
//    int x=0;
//    char ch=getchar();
//    while(ch<'0'||ch>'9'){
//        ch=getchar();
//    }
//    while(ch>='0'&&ch<='9'){
//        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
//        ch=getchar();
//    }
//    return x;
//}
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> mp;
/*}
*/
const int MOD=1e9+7;
int n,k;
vector<int> cover;
vector<int> ls,rs;
vector<int> depth;
vector<int> match;
int get(int num,int pos){
	return (num>>(30-pos))&1;
}
int getval(int num,int pos){
	return num&((1<<pos)-1);
}
void expand(int idx,bool flag=false){
	if(ls[idx]) return;
	ls[idx]=cover.size();
	rs[idx]=cover.size()+1;
	cover.PB(0);
	cover.PB(0);
	ls.PB(0),ls.PB(0);
	rs.PB(0),rs.PB(0);
	depth.PB(depth[idx]+1);
	depth.PB(depth[idx]+1);
	match.PB(0);
	match.PB(0);
	if(flag){
		cover[ls[idx]]=cover[rs[idx]]=1<<(30-depth[ls[idx]]);
	}
	expand(match[idx],(cover[match[idx]]!=0));
	if(get(k,depth[idx]+1)){
		match[ls[idx]]=(rs[match[idx]]);
		match[rs[idx]]=(ls[match[idx]]);
	}
	else{
		match[ls[idx]]=(ls[match[idx]]);
		match[rs[idx]]=(rs[match[idx]]);
	}
}
void insert(int root,int l,int r,int is=0){
	if(l>r) return;
	cover[root]+=(r-l+1);
	if(r-l+1==(1<<(30-depth[root]))){
		queue<int> q;
		q.push(root);
		while(!q.empty()){
			int now=q.front();
			q.pop();
			if(now!=root){
				cover[now]+=1<<(30-depth[now]);
			}
			if(ls[now]){
				q.push(ls[now]);
				q.push(rs[now]);
				assert(rs[now]);
			}
		}
//		cout<<root<<' '<<match[root]<<" "<<l<<' '<<r<<' '<<depth[root]<<' '<<cover[root]<<endl;
		return;
	}
	expand(root);
	int mid=is;
	mid+=1<<(30-depth[root]-1);
	insert(ls[root],l,min(r,mid-1),is);
	insert(rs[root],max(l,mid),r,mid);
}
vector<int> dp1,dp2,dp3,g1,g2,g3;
/*
dp1[i]:一个选在i为根的子树，另一个选在match[i]为根的子树 
dp2[i]:两个选在i为根的子树，另一个选在match[i]为根的子树
dp3[i]: i为根的子树的方案 
*/
const int SIX=166666668;
void calc1(int rt){
	if(!cover[rt]) return;
	if(ls[rt]==0){
		if(cover[rt]&&cover[match[rt]]){
			dp1[rt]=1<<(30-depth[rt]);
			dp1[rt]=1ll*dp1[rt]*(getval(k,30-depth[rt])+1)%MOD;
		} 
		return;
	}
	calc1(ls[rt]);
	calc1(rs[rt]);
	dp1[rt]=dp1[ls[rt]]+dp1[rs[rt]];
	dp1[rt]%=MOD;
	if(get(k,depth[rt]+1)){
		(dp1[rt]+=1ll*cover[ls[rt]]*(cover[ls[match[rt]]])%MOD)%=MOD;
		(dp1[rt]+=1ll*cover[rs[rt]]*(cover[rs[match[rt]]])%MOD)%=MOD;
	}
}
void calc2(int rt){
	if(!cover[rt]) return;
	if(ls[rt]==0){
		if(cover[rt]&&cover[match[rt]]){
			dp2[rt]=g2[30-depth[rt]];
		}
		return;
	}
	calc2(ls[rt]);
	calc2(rs[rt]);
	dp2[rt]=dp2[ls[rt]]+dp2[rs[rt]];
	dp2[rt]%=MOD;
	if(get(k,depth[rt]+1)){
		(dp2[rt]+=(1ll*dp1[ls[rt]]*cover[rs[rt]]%MOD+1ll*dp1[rs[rt]]*cover[ls[rt]]%MOD)%MOD)%=MOD;
		(dp2[rt]+=1ll*cover[ls[rt]]*(cover[ls[rt]]-1)/2%MOD*(cover[ls[match[rt]]])%MOD)%=MOD;
		(dp2[rt]+=1ll*cover[rs[rt]]*(cover[rs[rt]]-1)/2%MOD*(cover[rs[match[rt]]])%MOD)%=MOD;
	}
}
void calc3(int rt){
	if(!cover[rt]) return;
	if(ls[rt]==0){
		if(cover[rt])
			dp3[rt]=g3[30-depth[rt]];
		return;
	}
	calc3(ls[rt]);
	calc3(rs[rt]);
	if(get(k,depth[rt]+1)){
		(dp3[rt]+=dp2[ls[rt]])%=MOD;
		(dp3[rt]+=dp2[rs[rt]])%=MOD;
		dp3[rt]+=1ll*(cover[ls[rt]])*(cover[ls[rt]]-1)%MOD*(cover[ls[rt]]-2)%MOD*SIX%MOD;
		dp3[rt]%=MOD;
		dp3[rt]+=1ll*(cover[rs[rt]])*(cover[rs[rt]]-1)%MOD*(cover[rs[rt]]-2)%MOD*SIX%MOD;
		dp3[rt]%=MOD;
	}
	else{
		dp3[rt]=dp3[ls[rt]]+dp3[rs[rt]];
		dp3[rt]%=MOD;
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	cover.PB(0);
	ls.PB(0);
	rs.PB(0);
	depth.PB(0);
	match.PB(0);
	rb(i,1,n){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		insert(0,l,r);
	}
	int n=cover.size()-1;
	g1.resize(n+1);
	g2.resize(n+1);
	g3.resize(n+1);
	dp1.resize(n+1);
	calc1(0);
	rb(i,0,30){
		g2[i]=1<<i;
		g2[i]=1ll*(getval(k,i)+1)*(getval(k,i))/2%MOD*g2[i]%MOD;
	}
	dp2.resize(n+1);
	calc2(0);
	dp3.resize(n+1);
	rb(i,2,30){
		if((k>>(i-1))&1){
			g3[i]+=2ll*g2[i-1]%MOD;
			g3[i]%=MOD;
			int tmp=1<<(i-1);
			tmp=2ll*tmp*(tmp-1)%MOD*(tmp-2)%MOD*SIX%MOD;
			(g3[i]+=tmp)%=MOD;
		}
		else{
			g3[i]=g3[i-1]<<1;
			g3[i]%=MOD;
		}
	}
	calc3(0);
	printf("%d\n",dp3[0]);
	return 0;
}
/*
5 147
1 35
48 103
125 127
154 190
195 235

2 147
154 190
1 35


2 147
1 35
154 190
16603
*/