dp on 凸壳总结&gym 101806 T Touch The Sky 题解

dp on 凸壳总结&gym 101806 T Touch The Sky 题解

我也不知道这个玩意究竟叫什么。。。。

对于这样的dp问题：

\(dp_{i,j}=\min (dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-1}+w_i)\),(for example :Touch The Sky)

求任意的\(dp_{i,j}\)。

可以发现\(dp_{i}\)形成了一个凸壳（\(dp_{i,j}-dp_{i,j-1}\geq dp_{i,j-1}-dp_{i,j-2}\)）。

上述dp有两种转移：

• \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\),直接复制上一个，没啥好说的。
• \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+w_i\)，其实可以这样理解：将\(dp_{i,j}\)与\(dp_{i,j-1}\)的差值与\(w_i\)取一个min。

所以我们可以

若我们维护差分数组 ：\(c_j\)=\(dp_{i,j}-dp_{i,j-1}\)

则在\(c_j\geq w_i\)的部分，所有的\(dp_{i}\)都为\(dp_{i-1}\)向上移动\(w_i\)位，并向右移动一位。

我们只需要在那个维护c数组的平衡树中插入一个\(wi\)即可。同时维护前缀和。

我们回到上面的那一个问题，Touch The Sky。

这里需要有一个限制\(dp_{i-1,j-1}\leq L_i\Leftrightarrow dp_{i-1,j-1}+W_i\leq L_i+W_i=L\prime_i\)

这其实非常好办。

只需要在那个treap里删除最后一个满足上述条件的位置即可。

这样我们就可以将一个看似没有办法优化的二维dp优化到了\(O(n^2)\),是不是非常神奇！

但是有人会说：“treap也太难打了吧，这么长的代码比赛怎么来得及写啊！”。

先别着急，Touch The Sky 这题的确可以不使用treap。

我们先看看最终题目是要求什么？并不是任意的\(dp_{i,j}\)而是凸壳的最上面的那一点的横坐标!再看看\(L\prime_i\)有什么性质,对，递增，这可以保证凸壳的最高点只会升高不会降低！（为啥递增很多题解都解释的非常清楚了，这里就不多说了）

所以我们从前到后考虑，每次加入一个差分值：\(W_i\)。若\(sum> L\prime _i\)，就删除最后的那一个（最大的那一个）\(prefix\ sum \leq L\prime _i\)的差分值（这里的prefix sum位再treap里维护的前缀和），可以发现就是最大的那一个（前面已经分析了\(L\prime _i\)递增）。

所以priority_queue就ok了。

代码也就十多行。