数据结构图文解析之：直接插入排序及其优化（二分插入排序）解析及C++实现

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数据结构图文解析之：二分查找及与其相关的几个问题解析

1. 插入排序简介

插入排序是一种简单直观的排序算法，它也是基于比较的排序算法。它的工作原理是通过不断扩张有序序列的范围，对于未排序的数据，在已排序中从后向前扫描，找到相应的位置并插入。插入排序在实现上通常采用就地排序，因而空间复杂度为O（1）。在从后向前扫描的过程中，需要反复把已排序元素逐步向后移动，为新元素提供插入空间，因此插入排序的时间复杂度为O（n^2）;

2. 直接插入排序图解

一般来说，插入排序都采用在数组上就地排序实现。具体算法描述如下：

1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序
2. 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描
3. 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置
4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置
5. 将新元素插入到该位置后
6. 重复步骤2~5

假设我们要对数组{12，4，5，2，6，14}进行插入排序，排序过程为：

2.1. 代码实现

template <typename T>
void InsertSort(T array[],int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];     
            for (j = i - 1; array[j]>temp; j--) //元素后移
            {
                array[j + 1] = array[j];
            }
            array[j+1] = temp;        //在合适的位置上出入元素
        }
    }
}

2.2. 复杂度分析

• 插入排序的最好情况是数组已经有序，此时只需要进行n-1次比较，时间复杂度为O（n）;
• 最坏情况是数组逆序排序，此时需要进行n(n-1)/2次比较以及n-1次赋值操作（插入）；
• 平均来说插入排序算法的复杂度为O(n^2)。

插入排序不适合对大量数据进行排序应用，但排序数量级小于千时插入排序的效率还不错，可以考虑使用。插入排序在STL的sort算法和stdlib的qsort算法中，都将插入排序作为快速排序的补充，用于少量元素的排序（通常为8个或以下）。

直接插入排序采用就地排序，空间复杂度为O（1）.

2.3. 稳定性

直接插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序。

3. 二分查找插入排序

上面的插入排序实现中，为了找到元素的合适的插入位置，我们采用从后到前遍历的顺序查找进行比较，为了减少比较的次数，我们可以换种查找策略：采用二分查找。
我们定义一个二分查找函数，函数返回插入位置的下标：

/*二分查找函数，返回插入下标*/
template <typename T>
int BinarySearch(T array[], int start, int end, T k)
{
    while (start <= end)
    {
        int middle = (start + end) / 2;
        int middleData = array[middle];
        if (middleData > k)
        {
            end = middle - 1;
        }
        else
            start = middle + 1;
    }
    return start;
}
//二叉查找插入排序
template <typename T>
void InsertSort(T array[], int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];
            int insertIndex = BinarySearch(array, 0,i, array[i]);//使用二分查找在有序序列中进行查找，获取插入下标
            for (j = i - 1; j>=insertIndex; j--) //移动元素
            {
                array[j + 1] = array[j];   
            }       
            array[insertIndex] = temp;    //插入元素
        }
    }
}

3.2. 复杂度分析

我们这个二分查找的算法并不会因为等于某一个值而停止查找，它将查找整个序列直到start<=end条件不满足而得到插入的位置，所以对于长度为n的数组来说，比较次数为log2n ,时间复杂度为O（log2n）。二分插入排序的主要操作为比较+后移赋值，则：

• 最坏情况：每次都在有序序列的起始位置插入，则整个有序序列的元素需要后移，时间复杂度为O（n^2）
• 最好情况：待排序数组本身就是正序的，每个元素所在位置即为它的插入位置，此时时间复杂度仅为比较时的时间复杂度，为O(log2n)
• 平均情况：O（n^2）

空间复杂度上， 二分插入排序也是就地排序算法，它的空间复杂度为O（1）.

3.3. 稳定性

二分插入排序是稳定的。元素的相对顺序在排序后不会被改变。

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