4.28 每日一题题解

同余方程

• 题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16563

涉及知识点：

• exgcd

solution：

• \(这是一道数论裸题，可以直接当板子用\)
• \(≡是一个同余符号，即 a*x\)%\(b = 1\)%\(b\)
• \(上式可以化简成 ax+by = 1，y是任意正整数\)
• \(接下来引入今天的知识点：扩展欧几里得算法，下面给出定义：\)
• \(若 a,b 是整数,且 gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y\)
• \(ax+by 都一定是 d 的倍数，特别地，一定存在整数 x,y，使 ax+by=d 成立\)
• 扩展欧几里得证明
• \(这一题由于是要找到最小正整数解，如果求出的x是负数，需要再加上一个b\)
• \(比如5x + 6y = 1，x最小的整数解是-1,如果不限制最小整数解，还可以是5，11....\)
• \(如果你还是啥都没听懂，就把这个当作一个模板记住\)
• \(适用于：给出a，b，d，已知ax+by = d，求最小的x\)

std:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=t;
    return r;
}
int main()
{
    ll a,b,x,y;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ll e = exgcd(a,b,x,y);
    x = (x+b)%(b);//如果没有要求是最小的正整数x，就把这一行去掉
    printf("%lld\n",x);
    return 0;
}