神秘题 记
已知 \(4x ^ 4 + 9x ^ 2y ^ 2 + 2y ^ 4 = 4\)，求 \(5x ^ 2 + 3y ^ 2\) 的最小值。
解
不知道怎么想到的。
把前面那个式子因式分解（设 \(x\) 为主元，十字相乘易得），得到 \((4x + y)(x + 2y)\)。
然后就发现两个因式加起来就是 \(5x ^ 2 + 3y ^ 2\)。基本不等式即可。
\(x + y = 2\)，求 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{xy}\) 的最小值。
解
有个神奇方法是：
注意到如果分母和分子是齐次的，直接上下同除分母，就得到了更加好的式子。
但是如果本来式子不齐次。那我们能通过题目给的等式代换来升高或降低次数达到齐次的目的。
比如这个题。
后面先通分得 \(\dfrac{1 + y}{xy}\)，把分子写成 \((\dfrac{x + y}{2})^2 + y(\dfrac{x + y}{2})\)。
展开后再同除分母得 \(\dfrac{1 + \dfrac{x}{y} + 3\dfrac{y}{x}}{4}\)。
基本不等式求即可。
\(a + 2b = \sqrt{2ab + 4}\)，求 \(a + 2b\) 的最小值。
解
注意到给的条件里有 \(a + 2b\) 和 \(2ab\)，要求 \(a + 2b\)。
我也不知道怎么想到的，通过不等式把 \(2ab\) 转成 \(a + 2b\) 之后就能做了。
大概就是把要求的设为 \(t\)，然后给的条件里出现了 \(t\) 和其他的东西 \(x\)。
考虑通过如 \(x \geq f(t)\) 或 \(x \leq f(t)\)，的不等式将 \(x\) 用 \(t\) 表示。
然后条件就变成了只含 \(t\) 的不等式，解一下就行了。
比如这题，注意到 \(2ab = a \times 2b\)。所以 \(2ab \leq (\dfrac{a + 2b}{2}) ^ 2\)。
注意这一步，我刚做的时候直接把 \(ab\) 拆出来了，然后就做不下去了。
\(\sqrt{2ab + 4} \leq \sqrt{(\dfrac{a + 2b}{2}) ^ 2 + 4}\)
由题可知：\(a + 2b \leq \sqrt{(\dfrac{a + 2b}{2}) ^ 2 + 4}\)
两边平方并且令 \(t = a + 2b\) 就能解出来了。
\(ab = 18\)，求 \(\dfrac{a ^ 2 + b ^ 2}{a - b}\) 最小值。
解
思想同上一题，但是有点不一样。
上一题那种是条件里式子多，要求的少。这种情况可以将条件改写成用要求的式子表示的形式的不等式。
但是这个题要求的式子多，条件简单。考虑将要求的式子化成条件给的式子。
注意到 \((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab\)。
原式化成 \(\dfrac{(a - b) ^ 2 - 2ab}{a - b}\)。
\(= \dfrac{(a - b) ^ 2 - 36}{a - b}\)
\(= (a - b) - \dfrac{36}{a - b}\)
基本不等式即可。
\(a > 2b > 0\)，求 \(\dfrac{a ^ 4 + 1}{2b(a - 2b)}\) 最小值。
解
感觉是个很深刻的题目。
这个题和前面的都不一样，因为它没给等式。
有两个量都不知道。
这个时候我们先对其中一个量求最值，设另一个量为常数。
设哪个呢，我不知道。
先看 \(b\)。
发现 \(b\) 在分母上而且要求最小值，等价于求 \(2b(a - 2b)\) 的最大值。
\(2b(a - 2b)\) 的最大值显然是好求的。套一下基本不等式即可。
\(2b(a - 2b) \leq (\dfrac{a - 2b + 2b}{2}) ^ 2\)
\(\dfrac{a ^ 4 + 1}{2b(a - 2b)} \geq \dfrac{a ^ 4 + 1}{(\dfrac{a}{2}) ^ 2}\)
现在求这个的最小值 \(\dfrac{a ^ 4 + 1}{(\dfrac{a}{2}) ^ 2}\)
\(\dfrac{4a ^ 4 + 4}{a ^ 2}\)
\(= 4a ^ 2 + \dfrac{4}{a ^ 2}\)
直接基本不等式就好了。
