神秘题 记

已知 $4x^4+9x^2{y}^2+2y^4=4$，求 $5x^2+3y^2$ 的最小值。

解

不知道怎么想到的。

把前面那个式子因式分解（设 $x$ 为主元，十字相乘易得），得到 $(4x+y)(x+2y)$。

然后就发现两个因式加起来就是 $5x^2+3y^2$。基本不等式即可。

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$x+y=2$，求 ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{xy}}$ 的最小值。

解

有个神奇方法是：

注意到如果分母和分子是齐次的，直接上下同除分母，就得到了更加好的式子。

但是如果本来式子不齐次。那我们能通过题目给的等式代换来升高或降低次数达到齐次的目的。

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比如这个题。

后面先通分得 ${\displaystyle \frac{1+y}{xy}}$，把分子写成 $({\displaystyle \frac{x+y}{2}}{)}^2+y({\displaystyle \frac{x+y}{2}})$。

展开后再同除分母得 ${\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{x}{y}}+3{\displaystyle \frac{y}{x}}}{4}}$。

基本不等式求即可。

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$a+2b=\sqrt{2ab+4}$，求 $a+2b$ 的最小值。

解

注意到给的条件里有 $a+2b$ 和 $2ab$，要求 $a+2b$。

我也不知道怎么想到的，通过不等式把 $2ab$ 转成 $a+2b$ 之后就能做了。

大概就是把要求的设为 $t$，然后给的条件里出现了 $t$ 和其他的东西 $x$。

考虑通过如 $x\ge f(t)$ 或 $x\le f(t)$，的不等式将 $x$ 用 $t$ 表示。

然后条件就变成了只含 $t$ 的不等式，解一下就行了。

比如这题，注意到 $2ab=a\times 2b$。所以 $2ab\le ({\displaystyle \frac{a+2b}{2}}{)}^2$。

注意这一步，我刚做的时候直接把 $ab$ 拆出来了，然后就做不下去了。

$\sqrt{2ab+4}\le \sqrt{({\displaystyle \frac{a+2b}{2}}{)}^2+4}$

由题可知：$a+2b\le \sqrt{({\displaystyle \frac{a+2b}{2}}{)}^2+4}$

两边平方并且令 $t=a+2b$ 就能解出来了。

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$ab=18$，求 ${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a-b}}$ 最小值。

解

思想同上一题，但是有点不一样。

上一题那种是条件里式子多，要求的少。这种情况可以将条件改写成用要求的式子表示的形式的不等式。

但是这个题要求的式子多，条件简单。考虑将要求的式子化成条件给的式子。

注意到 $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab$。

原式化成 ${\displaystyle \frac{(a-b{)}^2-2ab}{a-b}}$。

$={\displaystyle \frac{(a-b{)}^2-36}{a-b}}$

$=(a-b)-{\displaystyle \frac{36}{a-b}}$

基本不等式即可。

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$a>2b>0$，求 ${\displaystyle \frac{a^4+1}{2b(a-2b)}}$ 最小值。

解

感觉是个很深刻的题目。

这个题和前面的都不一样，因为它没给等式。

有两个量都不知道。

这个时候我们先对其中一个量求最值，设另一个量为常数。

设哪个呢，我不知道。

先看 $b$。

发现 $b$ 在分母上而且要求最小值，等价于求 $2b(a-2b)$ 的最大值。

$2b(a-2b)$ 的最大值显然是好求的。套一下基本不等式即可。

$2b(a-2b)\le ({\displaystyle \frac{a-2b+2b}{2}}{)}^2$

${\displaystyle \frac{a^4+1}{2b(a-2b)}}\ge {\displaystyle \frac{a^4+1}{({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2}}$

现在求这个的最小值 ${\displaystyle \frac{a^4+1}{({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2}}$

${\displaystyle \frac{4a^4+4}{a^2}}$

$=4a^2+{\displaystyle \frac{4}{a^2}}$

直接基本不等式就好了。