4.4解的结构

文章目录

• 齐次线性方程组解的结构
• • 基础解系
  • 基础解系的求法
  • 例题*
• 非齐次线性方程组解的结构
• • 求解非齐次方程组的解
  • 1、怎么求特解
  • 2、求基础解系
• 参考

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解的结构就是要讨论方程组为无穷多解的情况中，能否用其中几个解来表示这无个解。解的结构可以分为两种来讨论：齐次方程组

齐次线性方程组解的结构

基础解系

基础解系就是解向量的极大无关组

基础解系的求法

基础解系解的个数为：$n-r(A)$，因为自由未知量的个数为同解矩阵右边未知量的个数，方程左右两边未知量之和为向量的个数n，左边未知量的个数为系数矩阵的秩，用n减去r(A)就是方程右边自由未知量的个数，也就是也就是基础解系解的个数。

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例题*

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非齐次线性方程组解的结构

求解非齐次方程组的解

先求该非齐次方程组对应的齐次方程组的基础解系，用非齐次方程组的一个特解加上基础解系的线性组合及可得到全部解。

1、怎么求特解

对非齐次线性方程组的增广矩阵做初等行变换化为行简化阶梯型，然后写出同解方程组，将右侧自由变量全部代为0即可得到一个特解。

2、求基础解系

求齐次方程组的基础解系跟上面一样，但是由于已经对增广矩阵化为行最简型了所以可以直接从增广矩阵中抄过来。

下面是整个求解步骤

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参考

以上图片均摘自宋浩老师视频，以方便以后自己查阅，感谢宋老师。
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