[LeetCode]70.爬楼梯

解法一 动态规化

假设$f(x)$为爬到第x层台阶时的方法数，通过举例观察可知:

f(1)	f(2)	f(3)	f(4)
1	2	3	4

$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
所以可以使用动态规化求解:

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1)return 1;
        int[] dp = new int[n];
        //初始化f(1)f(2)
        dp[0] = 1; dp[1]=2;
        for(int i = 2; i < n; i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n-1];
    }
}

时间复杂度为$O(n)$,空间复杂度为$O(n)$
通过观察可知$f(n)$只跟之前两个状态有关因此可以滚动数组进一步优化空间复杂度为$O(1)$

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1)return 1;
        if(n==2)return 2;
        //初始化p,q,r
        int p = 1, q = 2, r = 3;
        for(int i = 3; i < n; i++){
            p = q;
            q = r;
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

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解法二 通项公式的矩阵形式

通过通项公式可以把该问题转化为求矩阵幂，最后求解的答案为m11

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[][] M ={{0,1},{1,1}};
        int[][] res = pow(M,n);
        return res[1][1];
    }

    //二分法求矩阵n次幂
    public int[][] pow(int[][] a,int n){
        int[][] ret={{1,0},{0,1}};
        while(n>0){
            if((n & 1) == 1){
                ret = multiply(ret,a);
            }
            n>>=1;
            a = multiply(a,a);
        }
        return ret;
    }

    //实现2*2矩阵乘法
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for(int i = 0; i < 2; i++){
            for(int j = 0; j < 2; j++){
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]; 
            }
        }
        return c;
    }
}