[leetCode]69. x 的平方根

解法一 袖珍计算器法

思路:将开方运算转化为其他函数运算
注意点:由于对数与指数运算都是浮点型运算，因此存在精度缺失的问题，因此在得到结果的整数部分 ans 后，我们应当找出 ans 与 ans+1 中哪一个是真正的答案。

class Solution {
    /**
    *袖珍计算器法，使用对数、指数运算代替开方运算,时间复杂度O(1),空间复杂度O(1)
    */
    public int mySqrt(int x) {
       if(x == 0) return 0;//对数真数不能为0
       int ans = (int)Math.exp(0.5 * Math.log(x));
       //注意浮点运算会出现精度缺失，转化为整数时会出现“少1”的情况，因此要做判断
       return (long)(ans+1)*(ans+1) <= x ? ans+1 : ans;
    }
}

解法二 二分查找法

思路：假设x开方后其整数部分为a,则a^2 <= x，并且a是最大的那个整数,因此可以使用二分查找算法，下届设为0，上界设为x，通过比较$mi{d}^2$与x的大小来缩小上下界范围。

class Solution {
    /**
    *假设x开方后其整数部分为a,则a^2 <= x,因此可以使用二分查找算法
    */
    public int mySqrt(int x) {
       int lo = 0, hi = x, ans = -1;
       while(lo <= hi) {
           int mid =lo +  (hi - lo)/2;
           if((long)mid * mid <= x){
               ans = mid;//更新结果
               lo = mid + 1;
           }else {
               hi = mid - 1;
           }
       } 
       return ans;
    }
}

解法三 牛顿迭代法

要求x的开方则就是求$f(t)=t^2-x$的正根，可以将f(t)在某个初始值进行泰勒展开，取前两项作为近似函数$g(t)$近似$f(t)$,由近似函数$g(t)$计算得到的根作为初始值再次近似$f(x)$这样近似函数的根就会越来越接近真实值，我们只需要设置一个可以接受的偏差e,当近似值小于这个偏差时就得到了结果。

这篇文章讲的很清楚:传送门

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if(x=0)return 0;
        double c = (double)x;
        double e = 1e-15;
        double t = c;//设置初始值
        while(Math.abs(t - c/t)> e * t)
            t = (t + c/t)/2;
        return (int)t;
    }
}