[leetCode]剑指 Offer 14- I. 剪绳子

动态规化

使用动态规化的问题有一下特点：

• 目标是求解问题的最优解
• 整体问题的最优解依赖各个子问题的最优解
• 把大问题分解为小问题，各个小问题之间存在重叠部分
• 从上往下分析问题，从下往上求解问题

设$f(n)$为把长度为n的绳子剪成若干段后乘积的最大值，则第一次剪的时候优n-1中选择，一段绳子的长度可能为1，2，3…n-1，因此$f(n)=max(f(i)\ast f(n-1))$。可以从下至上求解该问题，$f(2)=1,f(3)=2$,代码如下：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 2) return 0;
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        int[] products = new int[n+1];
        products[0] = 0;
        products[1] = 1;
        products[2] = 2;
        products[3] = 3;
        //products[i]表示把长度为i的绳子剪成若干段后乘积的最大值
        int max = 0;
        for(int i = 4; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i/2; j++){
                int product = products[j] * products[i-j];
                if(product > max){
                    max = product;
                }
                products[i] = max;
            }
        }
        return max;
    }
}

贪婪算法

使用贪婪算法解决问题时，每一步做一个贪婪的选择，基于这个选择达到最优解。
这题思路是：当n>=5时尽可能多的剪长度为3的绳子，当剩下绳子长度为4时剪成两段长度为2的绳子。

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 2) return 0;
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        //尽可能减去长度为3的绳子段
        int timesOf3 = n/3;
        //最后一段绳子长度为4时不能减去3
        if(n - timesOf3 * 3 == 1){
            timesOf3 -= 1;
        }

        //减长度为4的绳子
        int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3)/2;
        return (int)(Math.pow(3,timesOf3) * Math.pow(2,timesOf2));
    }
}