软件理论基础——第三章模态逻辑系统

 

语义理论

Kripke模型M=（W,R,L)

W 集合，世界x∈W

R可达关系

L标号函数，L(x)={p,q}指在世界（状态）x中，p,q的取值为真

x ||- φ 公式φ在世界(元素)x处为真

定义3.2.2（可满足性）：几个公式

定义3.2.3：M||-φ,模型M满足公式φ

定义3.2.4：模态公式的等价性，为什么要定义的这么麻烦？等价用≡表示

定义3.2.5：φ是逻辑有效的，即||-φ,即任意M,都有M||-φ

定义3.2.6：重言式是逻辑有效的

定义3.2.7：连续性可理解为有出边，函数性可理解为有且只有一条出边（大圆环）。线性性是指若（x,y）∈R,且(x,z)∈R,则y与z要么相等，要么可达；全性；反对称性   

                                                                                                                                                               

1. Kripke.M = (W , R, L)，其中W = {a, b, c, d, e}, R = {(a, c),(a, e),(b, a),(b, c),(d, e),(e, a)},L(a) = {p}, L(b) = {p, q}, L(c) = {p, q}, L(d) = {q}, L(e) = ∅.

2) 哪些公式是真的
Solution
(a) ¬p ∧ ¬p 　　{c}
(b) ♦q ∧ ¬q 　　存在可达状态满足q,但不是所有的可达状态都满足q　　{a, b}
(c) ♦p ∨ ♦q　　存在可达状态满足p或q {a, b, e}　　根据答案来看，这里的可达状态是指直接可达
(d) p ∨ ¬p 　　所有可达状态均满足p 或者所有的可达状态均不满足p(不存在这种情况：有的可达状态满足p，有的不满足)　　{b, c, d, e}
(e) (p ∨ ¬p) 　　所有可达状态均满足真，没什么可说的 {a, b, c, d, e}

 

2.证明下面公式的逻辑有效性
(d) ♦T → (φ → ♦φ)

首先要说明x是任意模型的任意世界，

若x|- ♦T ，则存在x的后继满足T

若x|- T ，则x的任意后继均满足T，当然也就存在后继满足T

所以 x||-φ → ♦φ

所以 x||- ♦T → (φ → ♦φ)

总结：就是要引入一个东西，并且声明它的任意性，比如世界x，然后再证

                                                                                                                                                                                                                                        3.3模态逻辑系统的推理理论

逻辑工程是使逻辑工程化且满足新的应用 

在不同场景下□和⋄的含义不同 

 

模态公式有效性

 

模态公式有效性与可达关系

我的理解是若关系R满足后面的性质，则公式模式是有效的

3.4特殊模态逻辑

定义3.4.1 标准的模态逻辑系统L: L是基本模态逻辑公式集且满足在命题逻辑下，子代换实例下，必然规则下封闭

定义3.4.2 模态逻辑K=L+分配公理

定义3.4.3模态逻辑KT45成为S5

定义3.4.4 模态逻辑KT4=S4

定义3.4.5多模态逻辑

K知道

E每个agent都知道

C每个agent都知道每个agent都知道

D知识传播

定义3.4.6 模型的定义，和系统分析与验证课上学到内容一样，换个名字

定义3.4.7可满足性

x可推出i知道φ，x的可达状态也可推出

 

x可推出G中每个agent知道φ，任意i属于G,x也可推出i知道φ

x可推出φ是G中的知识（G中每个agent知道每个agent都知道φ），任意i属于G,x也可推出E_Gφ,E_GE_Gφ,E_GE_GE_Gφ,E_Gφ……

即等式左边成立，等式右边的每一个合取项都成立 

 

x可推出知识是传播的且G中只有一种关系，即x可到达任意状态，则W中任意世界都可推出φ，不懂