[leetcode] 鸡蛋掉落 Google面试题 dp
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给你 k 枚相同的鸡蛋,并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。
已知存在楼层 f ,满足 0 <= f <= n ,任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次操作,你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下(满足 1 <= x <= n)。如果鸡蛋碎了,你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎,则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。
请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少?
示例 1:
输入:k = 1, n = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 1 。
如果它没碎,那么肯定能得出 f = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。
示例 2:
输入:k = 2, n = 6
输出:3
示例 3:
输入:k = 3, n = 14
输出:4
提示:
1 <= k <= 100
1 <= n <= 104
看到这个题目之后,第一印象是在UPC的某场训练中好像是做过这么个问题,当时好像是用的dp
一个很不错的参考博客:点我跳转
我们定义dp[k][n]为剩下k个鸡蛋,并且余下楼层为n当前状态下所需要的最小次数
这里说的余下楼层的意思是:经过排除之后,剩下多少层没有扔过鸡蛋的层数
比如一共十层,在第六层扔下鸡蛋没有坏掉,那么说余下的楼层就是10-6 = 4;因为从第六层扔下鸡蛋没有坏掉那么说在1-5层扔下鸡蛋也是不会坏掉的
既然状态已经表达了出来,那么说我们也就可以将状态转移出来了:
假设我们将鸡蛋从pos层扔下之后{
- 鸡蛋坏掉,那么说状态就变成了 d p [ k − 1 ] [ p o s − 1 ] dp[k-1][pos-1] dp[k−1][pos−1],鸡蛋坏掉一个,并且需要从 p o s pos pos以下的楼层(有 p o s − 1 pos-1 pos−1层)继续尝试
- 鸡蛋没坏,那么说状态就变成了
d
p
[
k
]
[
n
−
p
o
s
]
dp[k][n-pos]
dp[k][n−pos],鸡蛋数量没有发生变化,而需要确定的楼层的数量就变成了
n
−
p
o
s
n-pos
n−pos,因为我们只需要确定在
p
o
s
pos
pos层以上的楼层进行扔鸡蛋测试
}
所以说 d p [ k ] [ n ] = 1 + M I N { m a x { d p [ k − 1 ] [ p o s − 1 ] , d p [ k ] [ n − p o s ] } } dp[k][n] = 1 + MIN\{max\{dp[k-1][pos-1], dp[k][n-pos]\}\} dp[k][n]=1+MIN{max{dp[k−1][pos−1],dp[k][n−pos]}}
这里的 M I N MIN MIN是指 p o s pos pos在 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 范围内的最小的 m a x { d p [ k − 1 ] [ p o s − 1 ] , d p [ k ] [ n − p o s ] } max\{dp[k-1][pos-1], dp[k][n-pos]\} max{dp[k−1][pos−1],dp[k][n−pos]}
但是这个样子时间复杂度上不太优雅,是 O ( k ∗ n ∗ n ) O(k * n * n) O(k∗n∗n),绝对会超时(会有方法解决
在这里呢,可以考虑决策单调性,当时在写杭电多校一个题的时候学到的一个点
图片来源
设鸡蛋数目不变:
T
1
=
d
p
[
k
]
[
n
]
T1 = dp[k][n]
T1=dp[k][n],T1是关于楼层高度n递增的
T
2
=
d
p
[
k
]
[
n
−
p
o
s
]
T2 = dp[k][n-pos]
T2=dp[k][n−pos],是关于扔鸡蛋的位置pos递减的
最优的最小的最大值一定是两条线的交点
x
x
x
再放一遍递推式:
d
p
[
k
]
[
n
]
=
1
+
M
I
N
{
m
a
x
{
d
p
[
k
−
1
]
[
p
o
s
−
1
]
,
d
p
[
k
]
[
n
−
p
o
s
]
}
}
dp[k][n] = 1 + MIN\{max\{dp[k-1][pos-1], dp[k][n-pos]\}\}
dp[k][n]=1+MIN{max{dp[k−1][pos−1],dp[k][n−pos]}}
在鸡蛋数目不变,即k确定该不变的条件下,对于
d
p
[
k
−
1
]
[
p
o
s
−
1
]
dp[k-1][pos-1]
dp[k−1][pos−1],随着楼层的总数量
n
n
n的增加,这一项的值不变;
而对于
d
p
[
k
]
[
n
−
p
o
s
]
dp[k][n-pos]
dp[k][n−pos],随着楼层数量
n
n
n的变大,它的值会增加
所以说在前一项不变,后一项增加的状态下,焦点的位置
x
x
x会向上走,即
x
x
x也是单调递增的(交点向右上方走)。所以说,鸡蛋数量
k
k
k不变的情况下,随着
n
n
n的增加,
d
p
[
k
]
[
n
]
dp[k][n]
dp[k][n]对应的最优解的坐标
x
x
x是单调递增的。这样一来,每个
d
p
[
k
]
[
n
]
dp[k][n]
dp[k][n]的均摊复杂度为
O
(
1
)
O(1)
O(1) ==>出自上方博客
class Solution {
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
int dp[k+2][n+2];
memset(dp,0,sizeof dp);
for(int i=1;i<=n;i++) dp[1][i] = i;
for(int i=2;i<=k;i++) {
int pos = 1;
for(int j=1;j<=n;j++) {
while(pos < j && max(dp[i-1][pos-1],dp[i][j-pos]) > max(dp[i-1][pos],dp[i][j-pos-1])) pos ++;
dp[i][j] = 1 + max(dp[i-1][pos-1], dp[i][j-pos]);
}
}
return dp[k][n];
}
};