CF150E Freezing with Style
题意：给定一颗带边权的树，求一条边数在 [L,R][L,R] 之间的路径，并使得路径上边权的中位数最大。输出一条可行路径的两个端点。有两个中位数时取较大的那个。\(n \leq 10^5\)。
题解：对于中位数的题，常见的套路是二分答案\(w\)，将小于\(w\)的数定为-1或0，将大于等于\(w\)的数定为1，然后就能方便地进行一些操作。那么对于本题，二分答案\(w\)后，check时我们就只需要找到是否存在一条路径，它的边权和\(\geq 0\)。
考虑用点分治做。因为我们有\(L,R\)的限制，所以需要记一个\(a_i\)表示与分治中心距离为\(i\)的边权和的最大值。那么一个显然的做法就是大力搞棵线段树。但考虑到每个点在单次分治时需要查一次线段树，修改一次线段树，还要进行build操作，那么总复杂度就成了三个log，常数也很大，很难通过。考虑优化。
我们在进入分治中心的一个儿子查询时，可以考虑换一种查询方法：记\(b_i\)表示当前这个儿子的最大值，定义与\(a_i\)类似。又因为对于每个\(i\)，能对它产生贡献的是一段连续区间，且当\(i\)增大时，是个滑动窗口，那么就能用单调队列来优化这个过程。
但考虑到对于每个儿子，单调队列都要产生\(O(mxdep)\)的复杂度，这显然是不可接受的。所以，我们先将所有儿子按子树最大深度\(mxdep\)排序，这样，对于每个儿子\(x\)，复杂度就是\(O(mxdep_x)\)，加起来是\(O(n)\)级别的。这样，点分治的总复杂度就是\(O(nlogn)\)。
最好把点分树先建出来，以避免冗余的计算。
时间复杂度：\(O(nlog^2n)\)。
代码：又臭又长
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define F(x,y,z) for(re x=y;x<=z;x++)
#define FOR(x,y,z) for(re x=y;x>=z;x--)
typedef long long ll;
#define I inline void
#define IN inline int
#define C(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define STS system("pause")
template<class D>I read(D &res){
res=0;register D g=1;register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')g=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
res*=g;
}
const int INF=1e9+7;
vector<int>t[101000];
struct E{
int to,nt,w,v;
}e[202000];
#define T e[k].to
int n,m,rot,L,R,M,sn,head[101000],tot,X,Y,W;
int siz[101000],vis[101000],dep[101000],mx[101000],val[101000],a[101000],pa[101000],b[101000],pb[101000],q[101000],hed,tal,N,maxi,root;
int A,B;
vector<int>son;
I add(int x,int y,int w){
e[++tot].to=y;e[tot].nt=head[x];head[x]=tot;e[tot].w=w;
}
I findroot(int x,int fa){
siz[x]=1;mx[x]=0;
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(T==fa||vis[T])continue;
findroot(T,x);
siz[x]+=siz[T];mx[x]=max(mx[x],siz[T]);
}
mx[x]=max(mx[x],N-siz[x]);
if(mx[x]<maxi)maxi=mx[x],root=x;
}
I D_1(int x,int fa){
siz[x]=1;
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(T==fa||vis[T])continue;
D_1(T,x);siz[x]+=siz[T];
}
}
I divided(int x,int fa){
if(fa)t[fa].emplace_back(x);
//cout<<"!"<<fa<<" "<<x<<endl;
vis[x]=1;D_1(x,0);
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(T==fa||vis[T])continue;
N=siz[T];maxi=INF;findroot(T,x);
divided(root,x);
}
}
I D_2(int x,int fa,int depth){
dep[x]=depth;mx[x]=depth;
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(T==fa||vis[T])continue;
val[T]=val[x]+e[k].v;D_2(T,x,depth+1);
mx[x]=max(mx[x],mx[T]);
}
}
inline bool bbb(int x,int y){return mx[x]<mx[y];}
I D_3(int x,int fa){
if(val[x]>b[dep[x]])b[dep[x]]=val[x],pb[dep[x]]=x;
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(T==fa||vis[T])continue;
D_3(T,x);
}
}
I conquer(int x){
if(sn)return;
// cout<<"Conq:"<<x<<endl;
son.clear();val[x]=0;D_2(x,0,0);
for(re k=head[x];k!=-1;k=e[k].nt){
if(vis[T])continue;son.emplace_back(T);
}
sort(son.begin(),son.end(),bbb);
F(i,0,mx[x])a[i]=b[i]=-INF,pa[i]=pb[i]=0;
maxi=0;a[0]=0;pa[0]=x;
for(auto d:son){
// cout<<"Son "<<d<<":"<<endl;
F(i,1,mx[d])b[i]=-INF,pb[i]=0;
D_3(d,x);
// F(i,1,mx[d])cout<<b[i]<<" "<<pb[i]<<endl;
hed=1;tal=0;
FOR(i,min(R-1,maxi),L-1){
if(a[i]==-INF)continue;
while(hed<=tal&&a[q[tal]]<=a[i])tal--;
q[++tal]=i;
}
if(hed<=tal&&b[1]+a[q[hed]]>=0)sn=1,A=pa[q[hed]],B=pb[1];
F(i,2,mx[d]){
while(hed<=tal&&q[hed]+i>R)hed++;
if(L-i<=maxi&&L>=i&&a[L-i]>-INF){
while(hed<=tal&&a[q[tal]]<=a[L-i])tal--;
q[++tal]=L-i;
}
if(hed<=tal&&b[i]+a[q[hed]]>=0)sn=1,A=pa[q[hed]],B=pb[i];
}
F(i,1,mx[d]){
if(a[i]<b[i])a[i]=b[i],pa[i]=pb[i];
}
maxi=mx[d];
}
vis[x]=1;
for(auto d:t[x])conquer(d);
}
IN ck(int lim){
F(i,1,n)for(re k=head[i];k!=-1;k=e[k].nt){
if(e[k].w<lim)e[k].v=-1;else e[k].v=1;
}
F(i,1,n)vis[i]=0;
sn=0;conquer(rot);return sn;
}
I dichotomize(int l,int r){
if(l==r)return ck(l),void();
re mid=(l+r+1)>>1;
if(ck(mid))dichotomize(mid,r);
else dichotomize(l,mid-1);
//,cout<<"!"<<l<<endl
}
int main(){
read(n);read(L);read(R);C(head,-1);tot=-1;
F(i,1,n-1){
read(X);read(Y);read(W);add(X,Y,W);add(Y,X,W);M=max(M,W);
}
N=n;maxi=INF;findroot(1,0);rot=root;
divided(root,0);
dichotomize(0,M);
printf("%d %d",A,B);
return 0;
}
