高数整理（一）
第一章：函数与极限
目录
第一节：映射与函数
映射:
\(f:X \rightarrow Y \quad ( D_f=X \quad R_f\subset Y )\)
且对于\(\forall x\)，都有唯一对应的\(f(x)\)
- \(1:R_f=Y\)，称\(f\)为满射
- \(2:\forall x_1,x_2 \quad f(x_1)\not=f(x_2)\)，称\(f\)为单射
- 满足 \(1 \& 2\) ,称\(f\)为双射
- 逆映射:只有单射才能有逆映射
- 复合映射:\(f\circ g : f(g(x))\)
函数:
- 有界性:\(f(x) \le K_1\)：有上界 , \(f(x) \ge K_1\)：有下界 , \(|f(x)| \le K\)：有界
- 单调性:函数单调 不 需 要 连续
初等函数:
- 幂函数：\(x^u\)
- 指数函数：\(u^x\)
- 对数函数：\(\log_{a}x\)
- 三角函数：\(\sin x :\frac{a}{c} \enspace \cos x :\frac{b}{c} \enspace\tan x :\frac{a}{b} \enspace\cot x :\frac{b}{a} \enspace\sec x :\frac{c}{b} \enspace\csc x :\frac{c}{a} \enspace\)
- \(\sin * \csc = 1 \quad \cos * \sec = 1 \quad \tan * \cot = 1\)
- 反三角函数：\(\arcsin x \enspace \arccos x \enspace \arctan x\)
第二节：数列的极限
\(\exist a\) 使 \(\forall \varepsilon \enspace \exist N \isin N^+\) 有：\(n > N ,|x_n - a| < \varepsilon\)，称： \(\lim\limits_{n\to \infty }x_n = a\)
- 定理一：收敛数列极限唯一
- 定理二：收敛数列一定有界
- 定理三：$ \lim\limits_{n\to \infty }x_n = a \enspace a>0(or \enspace a<0),\enspace \exist N ,n>N \enspace x_n>0 (or \enspace x_n<0)$
- 定理四：收敛数列的子数列也收敛，且极限相同
第三节：函数的极限
定义跟数列极限定义差不多，但自变量可以：\(x\to x_0\enspace x_0^+\enspace x_0^- \enspace \infty \enspace +\infty \enspace -\infty\)
- 定理一: \(\lim f(x)\) 若存在，则唯一
- 定理二/三： 局部有界/保号性，详情参考数列极限部分
第四节：无穷小、无穷大
没啥好写的
第五节：极限运算法则
-
定理一: 无穷小\(+\)无穷小 还是无穷小
-
定理二: 有界函数\(*\)无穷小 还是无穷小
-
定理三: 如果\(\lim f(x) = A \quad \lim g(x) = B\)
- \(\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B\)
- \(\lim [f(x) * g(x)] = \lim f(x) * \lim g(x) = A * B\)
- $B \not = 0 , \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B} $
-
定理四: 对于\(\{ X_n \}\) 与 $ { Y_n }$,也可类似的适用上三条
注意：上述运算均 要求 极 限 存 在！
第六节：极限存在准则与两个重要极限
- 准则一: 夹逼定理，\(g(x) \le f(x) \le h(x) , \lim g(x) \le \lim f(x) \le \lim h(x)\)
- 准则二: 在自变量的某个变化过程中，函数/数列 单调且有界 则其必有极限
- 准则三: 柯西极限存在准则：\(X_n\)收敛的充要条件为：\(\forall \varepsilon \enspace \exist N \enspace n,m> N ,|X_n-X_m|< \varepsilon\)
重要极限:\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ,\lim\limits_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x} = e\)
第七节：无穷小的比较
定义
- 高阶无穷小：如果\(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\)，那么说\(\beta\)是比\(\alpha\)高阶的无穷小，记作\(\beta = o(\alpha)\)
- 低阶无穷小：如果\(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\)，那么说\(\beta\)是比\(\alpha\)低阶的无穷小
- 同阶无穷小：如果\(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \not = 0\)，那么说\(\beta\)是与\(\alpha\)同阶的无穷小
- k阶无穷小：如果\(\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \not = 0 , k>0\)，那么说\(\beta\)是关于\(\alpha\)的k阶无穷小
- 等价无穷小：如果\(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1\)，那么说\(\beta\)是与\(\alpha\)等价的无穷小，记作\(\alpha \sim \beta\)
- 常用等价无穷小\((x \to 0)\)
- \(\sin x \sim x \quad \tan x \sim x\)
- \(\arcsin x \sim x \quad \arctan x \sim x\)
- \(1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2\)
- \(\ln(1+x) \sim x \quad e^x -1 \sim x\)
- \(\sqrt[n]{(1+x)}-1 \sim \frac{1}{n} x\)
- \(\frac{a^x - 1}{x} = \ln a\)
- *大部分能用洛必达证明
第八节：函数的连续性与间断点
连续性定义：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某一邻域内有定义，且 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x) - f(x_0)]=0\) ( 或\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) =f(x_0)\) )，则称\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。
间断点：设\(f(x)\)在\(x_0\)去心邻域内有定义，在此前提下，若\(f(x)\)满足下列情况之一：
- 在\(x=x_0\)没有定义
- 虽然在\(x=x_0\)有定义，但不存在\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)
- 有定义，且存在\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)，但\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \not = f(x_0)\)
此时，称\(f(x)\)在点\(x_0\)不连续，\(x_0\)为\(f(x)\)的间断点（不连续点）
间断点分类：
- 第一类间断点（左极限\(f(x_0^-)\),右极限\(f(x_0^+)\)均存在）
- 可去间断点（\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\)）
- 跳跃间断点（\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) \not = \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\)）
- 第二类间断点（非第一类间断点的其他间断点）
- 无穷间断点（\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \infty\)）
- 震荡间断点（\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)不为\(\infty\)，也不存在）
- 例：\(x_0 = 0,f(x)=\sin\frac{1}{x}\)
第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的运算：
- 定理一：若函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x_0\)处连续，则它们的和 差 积 商\((f\pm g,f*g,\frac{f}{g} \enspace(g(x_0)\not = 0) )\)都在\(x_0\)连续
- 定理二：若\(f(x)\)在区间\(I\)上单调增加（或减少）且连续，那么它的反函数在对应的区间上也单调增加（或减少）且连续
- 定理三：对于函数\(y=(f \circ g )(x)\)，认为其由\(y=f(u)\)与\(u=g(x)\)复合而成，那么若\(\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = u_0\)，且\(f(u)\)在\(u_0\)处连续，则\(\lim\limits_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = f(u_0)\)
- 注意：与定理四不同，此时不要求\(g(x)\)在\(x_0\)处连续，但也不能说明\((f \circ g)(x)\)在\(x_0\)处连续
- 定理四：对于函数\(y=(f \circ g )(x)\)，认为其由\(y=f(u)\)与\(u=g(x)\)复合而成，那么若\(g(x)\)在\(x_0\)处连续，且\(f(u)\)在\(g(x_0)\)处连续，则\((f \circ g )(x)\)在\(x_0\)连续
初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的
第十节：闭区间上连续函数的性质
定义：\(f(x)\)在\((a,b)\)连续，且在\(a\)右连续，在\(b\)左连续，则称\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续
- 定理一：在闭区间上连续的函数在此区间上有界，且能取到最大/最小值
- 定理二：在闭区间\([a,b]\)上连续的函数\(f(x)\)，若\(f(a) * f(b) < 0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上至少有一个零点
- 定理三：在闭区间\([a,b]\)上连续的函数\(f(x)\)，若\(f(a)=A,f(b)=B\)，则 \(\forall C \in [A,B]\) (或 \([B,A]\))，\(f(x)\) 在 \((a,b)\)上至少有一点 \(\xi\)，使得 \(f(\xi)=C\)
- 推论：在闭区间\([a,b]\)上连续的函数\(f(x)\)值域为\([m,M]\)，其中\(m,M\)分别为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小/最大值
- 定理四：一致连续性定理
- 定义：设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，对于\(\forall \varepsilon,\exist \delta\) ，使\(\forall |x_1-x_2|<\delta \enspace (x_1,x_2 \in I)\)，有\(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)，称 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续
- 定理：若\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则其在此区间上一致连续
