压位高精度

前言

本文的所有代码用C++实现，若在代码段里发现未定义的行为，请到最后的完整代码里寻找该行为含义。若有错误敬请在评论区指正。谢谢您的阅读。

引入

普通高精度每一位存一个数字，可是对于一个int型的存储空间，可存的最大数值为2147483647，只存一个数字是极大的空间浪费。因此，为了在节约空间的同时减少时间复杂度，我们尽量在一个空间中多存几位数字。对于乘法，两数之积的位数最大可达到两数的位数和，所以一个空间中存4位数字，可以保证不会溢出。

准备

一个数有以下几个信息：长度、每一位数的数字、符号，因此我们定义Integer类的成员如下：

1 1 const int Max_Integer_Length=6000;//类外
2 2 private:
3 3                 int digit[Max_Integer_Length],count;
4 4                 short signum;
常量与成员

操作

1.输入输出

类似于普通高精度，我们用一个char数组来辅助输入。先将所有数据输入到char数组当中，再把char数组每四位切割一次，倒序存到digit数组当中。（倒序是为了运算的时候方便处理）对于符号位，我们不妨使用一个start变量记录是否为负，如果是，循环的时候对char数组则从第1位而非第0位开始。较麻烦的是对于char数组和digit数组位置对应公式的推导，因为一个是顺序，另一个是逆序。

类似地，对于输出，先判断是否为负，如果是就输出'-'，然后对digit数组倒序输出，注意要用零补齐4位。

 1 inline Integer::Integer(const char *target)
 2         {
 3             memset(digit,0,sizeof(digit));
 4             int start=0,len=strlen(target);
 5             if(target[0]=='-'&&(target[1]!='0'||len!=2))
 6             {
 7                 signum=-1;
 8                 ++start;
 9             }
10             else if(target[0]!='0'||len!=1)
11                 signum=1;
12             else
13                 signum=0;
14             count=(len-start-1)/4;
15             for(int i=start,sum=0;i<len;++i)
16             {
17                 sum=sum*10+target[i]-'0';
18                 if(!((len-i-1)%4))
19                 {
20                     digit[count-(i-start)/4]=sum;
21                     sum=0;
22                 }
23             }
24             while(count>0&&!digit[count])
25                 --count;
26         }
27 inline std::istream& operator >>(std::istream &Cin,Integer &target)
28         {
29             scanf("%s",char_array_temp);
30             target=Integer(char_array_temp);
31             return Cin;
32         }
输入
1 inline std::ostream& operator <<(std::ostream &Cout,const Integer &target)
2         {
3             if(target.signum==-1)
4                 printf("-");
5             printf("%d",target.digit[target.count]);
6             for(int i=target.count-1;i>-1;--i)
7                 printf("%04d",target.digit[i]);
8             return Cout;
9         }
输出

2.大小比较

与普通高精度类似，先比符号，再比大小，最后逆序比较每一位。写好'＜'和'=='后，为了节省代码量，可以用符号之间的关系来写其它运算符。

 1 inline bool operator <(const Integer &target1,const Integer &target2)
 2         {
 3              if(target1.signum!=target2.signum)
 4                  return target1.signum<target2.signum;
 5              if(target1.signum==-1)
 6                  return target2.absolute_value()<target1.absolute_value();
 7             if(target1.count!=target2.count)
 8                  return target1.count<target2.count;
 9              for(int i=target1.count;i>-1;--i)
10                  if(target1.digit[i]!=target2.digit[i])
11                      return target1.digit[i]<target2.digit[i];
12              return false;
13         }
14         inline bool operator >(const Integer &target1,const Integer &target2)
15         {
16             return !(target1<target2)&&!(target1==target2);
17         }
18         inline bool operator ==(const Integer &target1,const Integer &target2)
19         {
20             if(target1.signum!=target2.signum||target1.count!=target2.count)
21                  return false;
22              for(int i=target1.count;i>-1;--i)
23                  if(target1.digit[i]!=target2.digit[i])
24                      return false;
25              return true;
26         }
27         inline bool operator <=(const Integer &target1,const Integer &target2)
28         {
29             return target1<target2||target1==target2;
30         }
31         inline bool operator >=(const Integer &target1,const Integer &target2)
32         {
33             return !(target1<target2);
34         }
35         inline bool operator !=(const Integer &target1,const Integer &target2)
36         {
37             return !(target1==target2);
38         }
比较

3.算术运算

对于加减乘法，和普通高精度相同，我们按照竖式计算的方式模拟。

加法从低位起，两个运算数x，y的对应位分别相加，然后满10000进1。时间复杂度为O(max(x.count，y.count))。

减法从低位起，被减数x的每一位分别减去减数y的对应位，如果为负则向下一位借1当10000。时间复杂度为O(max(x.count，y.count))。

乘法从低位起，第一个因数x的每一位与第二个因数y的每一位分别相乘，第i位与第j位所得的结果累加到结果的第i+j位，然后满10000进1。时间复杂度为O(x.count*y.count)。

对于符号，加减法在异号时互相转换调用，而乘法则只需要按同号为正，异号为负的方法得出符号。

注意减法和乘法可能产生的前导零需要删除。

 1 inline Integer Integer::absolute_value(void)const
 2         {
 3             if(!count&&!signum)
 4                 return *this;
 5             else
 6             {
 7                 Integer result=*this;
 8                 result.signum=1;
 9                 return result;
10             }
11         }
12         inline Integer Integer::opposite_number(void)const
13         {
14             Integer result=*this;
15             result.signum*=-1;
16             return result;
17         }
绝对值与相反数
 1 inline Integer operator +(const Integer &target1,const Integer &target2)
 2         {
 3             if(target1.signum!=target2.signum)
 4                 if(!target1.signum||!target2.signum)
 5                     return target1.signum?target1:target2;
 6                 else return target1.signum<target2.signum?target2-target1.absolute_value():target1-target2.absolute_value();
 7             Integer result;
 8             result.count=target1.count<target2.count?target2.count:target1.count;
 9             result.signum=target1.signum;
10             for(int i=0;i<=result.count;++i)
11             {
12                 result.digit[i]+=target1.digit[i]+target2.digit[i];
13                 result.digit[i+1]=result.digit[i]/10000;
14                 result.digit[i]%=10000;
15             }
16             if(result.digit[result.count+1])
17                 ++result.count;
18             return result;
19         }
20         inline Integer operator -(const Integer &target1,const Integer &target2)
21         {
22             if(target1.signum!=target2.signum)
23                 if(!target1.signum||!target2.signum)
24                     return target1.signum?target1:target2.opposite_number();
25                 else return target1.signum<target2.signum?(target1.absolute_value()+target2).opposite_number():target1+target2.absolute_value();
26             if(target1<target2)
27                 return (target2-target1).opposite_number();
28             Integer result;
29             if(target1==target2)
30                 return result;
31             result.count=target1.count;
32             result.signum=1;
33             for(int i=0;i<=result.count;++i)
34             {
35                 result.digit[i]+=target1.digit[i]-target2.digit[i];
36                 if(result.digit[i]<0)
37                 {
38                     --result.digit[i+1];
39                     result.digit[i]+=10000;
40                 }
41             }
42             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
43                 --result.count;
44             return result;
45         }
46         inline Integer operator *(const Integer &target1,const Integer &target2)
47         {
48             Integer result;
49             if(!target1.signum&&!target2.signum)
50                 return result;
51             result.signum=target1.signum*target2.signum;
52             result.count=target1.count+target2.count+1;
53             for(int i=0;i<=target1.count;++i)
54                 for(int j=0;j<=target2.count;++j)
55                 {
56                     result.digit[i+j]+=target1.digit[i]*target2.digit[j];
57                     result.digit[i+j+1]+=result.digit[i+j]/10000;
58                     result.digit[i+j]%=10000;
59                 }
60             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
61                 --result.count;
62             return result;
63         }
加减乘

对于除法，首先我们模拟竖式计算，首先将除数y的末位与被除数x的首位对齐（这个过程相当于扩大了除数），然后将除数的末位将不断向被除数当前位的下一位移动（相当于将除数除以10000），直到到达其末位，并在每一次移动和对齐后在被除数上尽量多地在减去除数当前的相对大小，同时将减去的次数累加到结果的被除数当前位的对应位。

那么对于这里的尽量多地减去除数这一操作，我们写普通高精度使用的是试除法，也就是不断地判断，如果被除数大于除数就减。

 1 inline Integer operator /(Integer target1,Integer target2)
 2         {
 3             Integer result,temp;
 4             if(!target1.signum||target1.absolute_value()<target2.absolute_value())
 5                 return result;
 6             if(!target2.signum)
 7                 throw std::logic_error("divide by zero!");
 8             result.signum=target1.signum*target2.signum;
 9             result.count=target1.count-target2.count+1;
10             target1=target1.absolute_value();
11             for(int i=result.count;i>-1;--i)
12             {
13                 temp.zero();
14                 for(int j=0;j<=target2.count;++j)
15                     temp.digit[i+j]=target2.digit[j];
16                 temp.count=target2.count+i;
17                 temp.signum=1;
18                 while(target1>=temp)
19                 {
20                     ++result.digit[i];
21                     target1-=temp;
22                 }
23             }
24             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
25                 --result.count;
26             return result;
27         }
试除法

可是我们计算一下这样做的最坏时间复杂度：试除每次最多可能进行9999次，也就是每一位要执行9999次减法，总时间复杂度将达到9999*O(x.count*y.count)，显然对于数据稍微苛刻的题就会TLE。关键是而构造这样的数据极为简单，x的每一位都是9999，y为1，这就是最坏情况。未压位之前，每一位最多试除9次，4位就是36次，远远低于9999次。

因此，我们不能直接试除。对于“尽量多”这一个字眼，我们可以联想到一个时间复杂度较优的算法——二分答案。于是，我们对于每一次试除，在左边界为0，右边界为9999的区间内进行二分（边界可以进行优化），找到尽量多的减法次数。由于这里的乘法的另一个因数为不超过9999的整数，存储到Integer里只有一位，乘法复杂度仅为O(y.count)，总时间复杂度为O(x.count*y.count)*k，其中k=log210000≈13。即使未压位前使用了二分试除，4位的复杂度也有4*log210≈12，由于减法未压位的常数更大，甚至压位会更快。

但是，在洛谷 P2005 A/B Problem II中，这样的二分还是会TLE。我们再对常数进行优化，在进行二分之前判断此时的被除数和除数的大小，如果被除数更小就不再进行二分，这样就避免了一次O(y.count)*k的二分。

 1 inline Integer operator /(const Integer &target1,const Integer &target2)
 2         {
 3             Integer result,temp,now;
 4             if(!target1.signum||target1.absolute_value()<target2.absolute_value())
 5                 return result;
 6             if(!target2.signum)
 7                 throw std::logic_error("divide by zero!");
 8             result.signum=target1.signum*target2.signum;
 9             result.count=target1.count;
10             now.signum=1;
11             for(int i=result.count;i>-1;--i)
12             {
13                 for(int j=now.count;j>-1;--j)
14                     now.digit[j+1]=now.digit[j];
15                 now.digit[0]=target1.digit[i];
16                 if(now.digit[now.count+1])
17                     ++now.count;
18                 now.signum=1;
19                 if(now<target2)
20                     continue;
21                 int left=0,right=9999;
22                 while(left<right)
23                 {
24                     int mid=(left+right)/2;
25                     if(target2*Integer(mid)<=now)
26                         left=mid+1;
27                     else
28                         right=mid;
29                 }
30                 result.digit[i]=left-1;
31                 now-=Integer(left-1)*target2;
32             }
33             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
34                 --result.count;
35             return result;
36         }
二分除法

取余可以直接通过除法和乘法来实现。对于被除数x和除数y，我们有x%y=x-x/y*y。

1 inline Integer operator %(const Integer &target1,const Integer &target2)
2         {
3             return target1-target1/target2*target2;
4         }
取余

优点

相比起普通的高精度而言，压位高精度将空间节约到了原来的四分之一，同时因为压位位数减少，加减和比较操作时间也几乎缩短到了原来的四分之一，乘法甚至几乎缩短到了原来的十六分之一。

完整代码

  1 #ifndef _INTEGER_HPP_
  2 #define _INTEGER_HPP_
  3 
  4 #include<cstdio>
  5 #include<cstring>
  6 #include<iostream>
  7 #include<stdexcept>
  8 
  9 namespace PsephurusGladius
 10 {
 11     namespace integer
 12     {
 13         const int Max_Integer_Length=6000;
 14         char char_array_temp[Max_Integer_Length];
 15         class Integer
 16         {
 17             private:
 18                 int digit[Max_Integer_Length],count;
 19                 short signum;
 20             public:
 21                 Integer(void);
 22                 Integer(const Integer &target);
 23                 Integer(const long long &target);
 24                 Integer(const char *target);
 25                 operator char*(void);
 26                 void zero(void);
 27                 friend std::istream& operator >>(std::istream &Cin,Integer &target);
 28                 friend std::ostream& operator <<(std::ostream &Cout,const Integer &target);
 29                 Integer absolute_value(void)const;
 30                 Integer opposite_number(void)const;
 31                 Integer operator -(void)const;
 32                 friend bool operator <(const Integer &target1,const Integer &target2);
 33                 friend bool operator >(const Integer &target1,const Integer &target2);
 34                 friend bool operator <=(const Integer &target1,const Integer &target2);
 35                 friend bool operator >=(const Integer &target1,const Integer &target2);
 36                 friend bool operator ==(const Integer &target1,const Integer &target2);
 37                 friend bool operator !=(const Integer &target1,const Integer &target2);
 38                 friend Integer operator +(const Integer &target1,const Integer &target2);
 39                 friend Integer operator -(const Integer &target1,const Integer &target2);
 40                 friend Integer operator *(const Integer &target1,const Integer &target2);
 41                 friend Integer operator /(const Integer &target1,const Integer &target2);
 42                 friend Integer operator %(const Integer &target1,const Integer &target2);
 43                 Integer& operator ++(void);
 44                 Integer operator ++(int);
 45                 Integer& operator --(void);
 46                 Integer operator --(int);
 47                 Integer operator +=(const Integer &target);
 48                 Integer operator -=(const Integer &target);
 49                 Integer operator *=(const Integer &target);
 50                 Integer operator /=(const Integer &target);
 51                 Integer operator %=(const Integer &target);
 52         };
 53         inline Integer::Integer(void):count(0),signum(0)
 54         {
 55             memset(digit,0,sizeof(digit));
 56         }
 57         inline Integer::Integer(const Integer &target):count(target.count),signum(target.signum)
 58         {
 59             memcpy(digit,target.digit,sizeof(digit));
 60         }
 61         inline Integer::Integer(const long long &target)
 62         {
 63             memset(digit,0,sizeof(digit));
 64             signum=target<0?-1:(target>0?1:0);
 65             count=-1;
 66             long long temp=target;
 67             do
 68             {
 69                 digit[++count]=temp%10000;
 70                 temp/=10000;
 71             }
 72             while(temp);
 73         }
 74         inline Integer::Integer(const char *target)
 75         {
 76             memset(digit,0,sizeof(digit));
 77             int start=0,len=strlen(target);
 78             if(target[0]=='-'&&(target[1]!='0'||len!=2))
 79             {
 80                 signum=-1;
 81                 ++start;
 82             }
 83             else if(target[0]!='0'||len!=1)
 84                 signum=1;
 85             else
 86                 signum=0;
 87             count=(len-start-1)/4;
 88             for(int i=start,sum=0;i<len;++i)
 89             {
 90                 sum=sum*10+target[i]-'0';
 91                 if(!((len-i-1)%4))
 92                 {
 93                     digit[count-(i-start)/4]=sum;
 94                     sum=0;
 95                 }
 96             }
 97             while(count>0&&!digit[count])
 98                 --count;
 99         }
100         inline Integer::operator char*(void)
101         {
102             memset(char_array_temp,0,sizeof(char_array_temp));
103             for(int i=count,len=0;i>-1;--i)
104             {
105                 if(i==count)
106                 {
107                     len+=sprintf(char_array_temp+len,"%d",digit[i]);
108                     continue;
109                 }
110                 len+=sprintf(char_array_temp+len,"%04d",digit[i]);
111             }
112             return char_array_temp;
113         }
114         inline void Integer::zero(void)
115         {
116             memset(digit,0,sizeof(digit));
117             count=signum=0;
118         }
119         inline std::istream& operator >>(std::istream &Cin,Integer &target)
120         {
121             scanf("%s",char_array_temp);
122             target=Integer(char_array_temp);
123             return Cin;
124         }
125         inline std::ostream& operator <<(std::ostream &Cout,const Integer &target)
126         {
127             if(target.signum==-1)
128                 printf("-");
129             printf("%d",target.digit[target.count]);
130             for(int i=target.count-1;i>-1;--i)
131                 printf("%04d",target.digit[i]);
132             return Cout;
133         }
134         inline Integer Integer::absolute_value(void)const
135         {
136             if(!count&&!signum)
137                 return *this;
138             else
139             {
140                 Integer result=*this;
141                 result.signum=1;
142                 return result;
143             }
144         }
145         inline Integer Integer::opposite_number(void)const
146         {
147             Integer result=*this;
148             result.signum*=-1;
149             return result;
150         }
151         Integer Integer::operator -(void)const
152         {
153             return opposite_number();
154         }
155         inline bool operator <(const Integer &target1,const Integer &target2)
156         {
157              if(target1.signum!=target2.signum)
158                  return target1.signum<target2.signum;
159              if(target1.signum==-1)
160                  return target2.absolute_value()<target1.absolute_value();
161             if(target1.count!=target2.count)
162                  return target1.count<target2.count;
163              for(int i=target1.count;i>-1;--i)
164                  if(target1.digit[i]!=target2.digit[i])
165                      return target1.digit[i]<target2.digit[i];
166              return false;
167         }
168         inline bool operator >(const Integer &target1,const Integer &target2)
169         {
170             return !(target1<target2)&&!(target1==target2);
171         }
172         inline bool operator ==(const Integer &target1,const Integer &target2)
173         {
174             if(target1.signum!=target2.signum||target1.count!=target2.count)
175                  return false;
176              for(int i=target1.count;i>-1;--i)
177                  if(target1.digit[i]!=target2.digit[i])
178                      return false;
179              return true;
180         }
181         inline bool operator <=(const Integer &target1,const Integer &target2)
182         {
183             return target1<target2||target1==target2;
184         }
185         inline bool operator >=(const Integer &target1,const Integer &target2)
186         {
187             return !(target1<target2);
188         }
189         inline bool operator !=(const Integer &target1,const Integer &target2)
190         {
191             return !(target1==target2);
192         }
193         inline Integer operator +(const Integer &target1,const Integer &target2)
194         {
195             if(target1.signum!=target2.signum)
196                 if(!target1.signum||!target2.signum)
197                     return target1.signum?target1:target2;
198                 else return target1.signum<target2.signum?target2-target1.absolute_value():target1-target2.absolute_value();
199             Integer result;
200             result.count=target1.count<target2.count?target2.count:target1.count;
201             result.signum=target1.signum;
202             for(int i=0;i<=result.count;++i)
203             {
204                 result.digit[i]+=target1.digit[i]+target2.digit[i];
205                 result.digit[i+1]=result.digit[i]/10000;
206                 result.digit[i]%=10000;
207             }
208             if(result.digit[result.count+1])
209                 ++result.count;
210             return result;
211         }
212         inline Integer operator -(const Integer &target1,const Integer &target2)
213         {
214             if(target1.signum!=target2.signum)
215                 if(!target1.signum||!target2.signum)
216                     return target1.signum?target1:target2.opposite_number();
217                 else return target1.signum<target2.signum?(target1.absolute_value()+target2).opposite_number():target1+target2.absolute_value();
218             if(target1<target2)
219                 return (target2-target1).opposite_number();
220             Integer result;
221             if(target1==target2)
222                 return result;
223             result.count=target1.count;
224             result.signum=1;
225             for(int i=0;i<=result.count;++i)
226             {
227                 result.digit[i]+=target1.digit[i]-target2.digit[i];
228                 if(result.digit[i]<0)
229                 {
230                     --result.digit[i+1];
231                     result.digit[i]+=10000;
232                 }
233             }
234             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
235                 --result.count;
236             return result;
237         }
238         inline Integer operator *(const Integer &target1,const Integer &target2)
239         {
240             Integer result;
241             if(!target1.signum&&!target2.signum)
242                 return result;
243             result.signum=target1.signum*target2.signum;
244             result.count=target1.count+target2.count+1;
245             for(int i=0;i<=target1.count;++i)
246                 for(int j=0;j<=target2.count;++j)
247                 {
248                     result.digit[i+j]+=target1.digit[i]*target2.digit[j];
249                     result.digit[i+j+1]+=result.digit[i+j]/10000;
250                     result.digit[i+j]%=10000;
251                 }
252             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
253                 --result.count;
254             return result;
255         }
256         inline Integer operator /(const Integer &target1,const Integer &target2)
257         {
258             Integer result,temp,now;
259             if(!target1.signum||target1.absolute_value()<target2.absolute_value())
260                 return result;
261             if(!target2.signum)
262                 throw std::logic_error("divide by zero!");
263             result.signum=target1.signum*target2.signum;
264             result.count=target1.count;
265             now.signum=1;
266             for(int i=result.count;i>-1;--i)
267             {
268                 for(int j=now.count;j>-1;--j)
269                     now.digit[j+1]=now.digit[j];
270                 now.digit[0]=target1.digit[i];
271                 if(now.digit[now.count+1])
272                     ++now.count;
273                 now.signum=1;
274                 if(now<target2)
275                     continue;
276                 int left=0,right=9999;
277                 while(left<right)
278                 {
279                     int mid=(left+right)/2;
280                     if(target2*Integer(mid)<=now)
281                         left=mid+1;
282                     else
283                         right=mid;
284                 }
285                 result.digit[i]=left-1;
286                 now-=Integer(left-1)*target2;
287             }
288             while(result.count>0&&!result.digit[result.count])
289                 --result.count;
290             return result;
291         }
292         inline Integer operator %(const Integer &target1,const Integer &target2)
293         {
294             return target1-target1/target2*target2;
295         }
296         inline Integer& Integer::operator ++(void)
297         {
298             return *this=*this+Integer(1LL);
299         }
300         inline Integer Integer::operator ++(int)
301         {
302             Integer result=*this;
303             ++*this;
304             return result;
305         }
306         inline Integer& Integer::operator --(void)
307         {
308             return *this=*this-Integer(1LL);
309         }
310         inline Integer Integer::operator --(int)
311         {
312             Integer result=*this;
313             --*this;
314             return result;
315         }
316         inline Integer Integer::operator +=(const Integer &target)
317         {
318             return *this=*this+target;
319         }
320         inline Integer Integer::operator -=(const Integer &target)
321         {
322             return *this=*this-target;
323         }
324         inline Integer Integer::operator *=(const Integer &target)
325         {
326             return *this=*this*target;
327         }
328         inline Integer Integer::operator /=(const Integer &target)
329         {
330             return *this=*this/target;
331         }
332         inline Integer Integer::operator %=(const Integer &target)
333         {
334             return *this=*this%target;
335         }
336     }
337 }
338 
339 #endif
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posted @ 2019-02-23 10:52  PsephurusGladius  阅读(831)  评论(5)  编辑  收藏  举报