hdu4549(费马小定理 + 快速幂)

 

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

 

Sample Input

0 1 0 6 10 2

 

 

Sample Output

0 60

 

 

把F往后递推可以看出是  f(n)=a^fib(n-1)*b^fib(n),n>=2，然后发现正常推fib并不行，超时（表示并不会用矩阵求）

这题主要是求出fib数列，然后再进行快速幂即可。

费马小定理：如果p为质数且a，p互质      a^(p-1) = 1(mod  p)

所以 a^n = a^(  n%(p-1) ) * 1 * 1........     (最开始一直不理解费马是怎么转换过来的)

通俗点：

A^B %C   这题的C是质素，而且A，C是互质的。

所以直接A^(B%(C-1)) %C     （来自kuangbin大神）

 

用矩阵快速幂求出fib数列基本就搞定 （矩阵部分不会写,果然太菜，啥都不会- -）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 10100
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,m;
unsigned long long a[N],ins[70];
bool flag;
struct Matrix
{
    ll p[2][2];
};


Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < 2; i++)
        for(int j = 0; j < 2; j++)
        {
            res.p[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++)
            {
                res.p[i][j] += a.p[i][k] * b.p[k][j];
                res.p[i][j] %= 1000000006;
            }
        }
    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, ll n)  //矩阵快速幂
{
    Matrix res;
    res.p[0][0] = res.p[1][1] = 1;
    res.p[0][1] = res.p[1][0] = 0;
    while(n != 0)
    {
        if(n & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
ll pow_mod(ll a, ll n) //二分快速幂
{
    if(n == 0) return 1;
    ll x =pow_mod(a,n/2);
    ll ans = x*x%1000000007;
    if(n % 2) ans = ans*a%1000000007;
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b,n;
    Matrix tmp;
    tmp.p[0][0] = 0;
    tmp.p[0][1] = tmp.p[1][1] = tmp.p[1][0] = 1;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF)
    {
        Matrix q = pow_matrix(tmp,n);
        ll ans = 1;
        ans = (pow_mod(a, q.p[0][0]) * pow_mod(b, q.p[1][0])) % 1000000007;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}