矩阵论（学习总结）

临近考试，梳理了一下已学矩阵论课程的整个系统框架。

线性空间到它本身的映射是线性变换，在不同基下的表示是过渡矩阵。

酉变换是一个在C上保持矩阵内积、长度、向量夹角和形状的变换；
正交变换是一个在R上保持矩阵内积、长度、向量夹角和形状的变换；
Household矩阵是保持向量范数不变的变换。

从一个线性空间到另一个线性空间的映射，可以通过矩阵表示。
这个矩阵表示是一个λ矩阵，即A(λ)，这里的λ是一个未知数，而非特征值。

我们所熟知的简单映射，其矩阵表示是数字阵，即0次λ矩阵，
若有n个线性无关的特征向量，则通过相似变换可以对角化到Jordan标准型，求特征值——λ，
特征值之和是tr(A)，特征值之积是det(A)，
当然用(λI-A)特征方程求根会是一个更简单的方法；

它的特征矩阵是(λI-A)，即1次λ矩阵，
通过相抵变换可以得到Smith标准型，进而得到不变因子、行列式因子、初等因子+秩——(λ-λi)。
最后一个不变因子是最小多项式，它是所有化零多项式的一个最大公因式。
化零多项式是s.t. φ(A)=0的φ(λ)。

以上的
特征值λi——初等因子+秩(λ-λi)
约当标准型——Smith标准型
都是同一空间在不同基下的矩阵表示的等价条件，即所谓找“特征”是否“相似”；

而如果对于不同映射的相似程度，我们引入范数的概念，
范数是一种函数映射，可以在不同空间下（数、各种维度的向量、不同规模的矩阵），
也可以有不同的函数计算方式（一范数、二范数、p范数、无穷范数），
在同一空间的不同范数等价。

我们常用的是二范数，即长度，
长度在向量空间下，称为向量的模；
在实数域上，就是绝对值。

对于二维向量，它在坐标轴中的图像是一个圆，
然而，在实际中，可能根据不同的条件来定义不同范数，
如城市规划中，区域距离min不可能用圆形衡量，就可能要选用方形的无穷范数。

当然，映射也存在逆映射，因为目标空间中的值域子空间与源空间不是一一映射，我们就有了广义逆，
如果Ax=b，b不落在值域子空间内，则方程不可解，即不相容，此时考虑线性极小二乘问题。

可以利用广义逆求解线性方程的解，以及线性极小二乘问题的解:
满足加号逆条件中{1}的，称为减号逆，是线性方程Ax=b的解；
满足加号逆条件中{1,4}的，是线性方程Ax=b的最小范数解；
满足加号逆条件中{1,3}的，是线性极小二乘问题min||Ax-b||的解；
满足加号逆条件中{1,2,3,4}的，称为加号逆，是以上所有问题的解，也是线性极小二乘问题的最小解。

至于二次型，则是一种对于二次曲线的旋转变换，它通过相合变换仍保持正负惯性指数不变，因此这是二次型的一个“特征”。