做题笔记

本篇会记录笔者一些做题时的思路，更多为个人记录。

CF1077D

题意：给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，请求出长度为 \(k\) 的子集 \(b\) 在 \(a\) 中出现的尽可能多。

思路：一眼贪心，每次输出出现次数最多的数，并再记录多次出现的情况（第一次数量除二，第二次除三……），执行 \(k\) 次操作。

复杂度：输入 \(O(n)\)，优先队列 \(O(log\ n)\)，处理为 \(O(k)\)，总时间复杂度为 \(O(n+k\ \log\ n)\)。

CF1077E

题意：给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，一开始自拟一个 \(x\)，第 \(k\) 次选择一个 \(a_i\) 要求其大于 \(k \times x\)，选过的不能再选，问最多能选多少次。

思路：从大到小开始枚举，每次将数量除以二，同时记录答案。

复杂度：排序 \(O(n\ \log\ n)\)，处理 \(O(n)\)，总时间复杂度为 \(O(n\ \log\ n)\)。

CF1077F1

题意：给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，请你选出 \(m\) 个数并且保证任意连续 \(k\) 个数都至少选中一个，求选出来的数最大和。

思路：三层循环暴力 DP。设 \(f_{i,j}\) 表示选到第 \(i\) 个数，已经选了 \(j\) 个数，并且第 \(i\) 个数一定选。状态转移方程：\(f_{i,j}=f_{\max\{0,i-k\}\ldots i-1,j-1}\)。

复杂度：处理 \(O(n^3)\)。

CF1077F2

题意：与 CF1077F1 相同，不同在于数据范围无法使用 \(O(n^3)\) 过，需优化至 \(O(n^2)\)。

思路：相比 CF1077F1 加个单调队列优化。

复杂度：处理 \(O(n^2)\)。

P1311

题意：给定长度为 \(n\) 的序列和一个整数 \(p\)，每个数都有一个 \(a_i\) 和 \(b_i\)，请你求出有多少对 \(i,j,k\) 满足 \(i ≤ k ≤ j,i ≠ j,a_i = a_j,b_k ≤ p\)

思路：扫一遍，记录一个前缀数组 \(sum\)，如果当前 \(b_i ≤ p\) 就让 \(sum_i+1\)。对于任意 \(j\)，若满足 \(j<i,a_j=a_i,sum_i-sum_{j-1}>0\) 则 \(ans\) 加一。

复杂度：总时间复杂度 \(O(nk)\)。

ARC149_b

题意：给定 \(n\) 对数，你可以将它们进行排列，并构成两个数列。求两者 \(lis\) 之和最大值。满足两个序列都是 \(n\) 的排列。

思路：因为是 \(n\) 的排列，也就是说你可以让没对数在至少一个序列中的答案产生贡献。所以，对于最优解，所有数都将对答案产生贡献。那么我们可以将 \(n\) 对数按第一关键字排序，使得第一个序列 \(lis\) 长度为 \(n\)，在求第二个序列的 \(lis\) 即可。

复杂度：排序 \(O(n\ \log\ n)\)，求 \(lis\) \(O(n\ \log\ n)\)。

CF407B

题意：给定长度为 \(n\) 的迷宫，第 \(i\) 个迷宫有两个通道，分别前往 \(i+1\) 和 \(p_i\)（\(1 \le p_i \le i\)）。一个人会从第一个房间开始走，第奇数次经过会前往 \(p_i\)，偶数次会前往 \(i+1\)。问走多少次会到达终点（\(n+1\))。

思路：不难想到模拟的方法，进一步可以得到记忆化的方法，再进一步得到动态规划的方法。设 \(f_i\) 表示从点 \(1\) 走奇数次到 \(i\) 的最少次数。从若不在意这一步的奇偶，那么 \(f_i\) 为 \(f_{i-1}+1\)。但是从 \(i-1\) 第一次到达 \(i\) 必然为奇数次，所以还要加上 \(f_{i-1}-f_{p_{i-1}}+1\)。故 \(f_i=2 \times\ f_{i-1} - f_{p_{i-1}}+2\)。

复杂度：时间复杂度 \(O(n)\)。

ARC152_b

题意：给定一条长度为 \(l\) 的小路，路上有 \(n\) 个休息站。两个人各选择一个点，同时出发，碰到端点后返回。但是两人不能同时在同一个非休息站的点（包括但不限于相遇，随从……），同时两人可以在休息站调整方向或等待。问两人都回到自己的出发点时总时间最少。

思路：不难发现，两人一开始在同一个休息站出发、背向而行才有可能出现最优解，同时这个在休息站换方向纯粹就是障眼法。那么，假设没有不能同时在非休息点的地方相遇，那么答案为 \(2\ \times\ l\)。否则，我们先考虑其相遇位置，先要到达此地者会在最近的休息站等待另外一人与他相遇后再走，此过程消耗时间为 \(2\ \times\ abs\{l-x-y\}\)（\(x\) 为出发点，\(y\) 为距离原相遇点最近的休息站）。注意细节，你不能在端点处的休息站等待。

复杂度：确定最近的休息站 \(O(\log\ n)\)，枚举出发点为 \(O(n)\)，总时间复杂度 \(O(n\ \log\ n)\)。

ARC150_c

题意：给定序列 \(B\) 和一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的图，每个点有一个点权，问所有从 1 到 \(n\) 的路径上依次经过的点的点权形成的序列都含有 \(B\) 作为子序列。

思路：\(f_i\) 表示从 1 点出发到达 \(i\) 点时，其点权序列已经将 \(B\) 的前 \(f_i\) 个数字作为子串，做一遍 Dijkstra 即可。

复杂度：Dijkstra 的复杂度。

ARC149_d

题意：给定 \(n\) 个点，第 \(i\) 个初始位于 \(x_i\)（\(1 \le x_i \le 10^6\)）。你要进行 \(m\) 次操作，第 \(i\) 次操作给定 \(d_i\)，接下来对于第 \(i\) 个点：

• 若点 \(i < 0\)，则 \(i\) 往右方向移动 \(d_i\) 个距离。

• 若点 \(i > 0\)，则 \(i\) 往左方向移动 \(d_i\) 个距离。

• 若点 \(i = 0\)，则不动。

问操作完之后每个点是否在 0 处。若在，输出第几次操作时他到达了点 0.否则，输出最后这个点在哪.

思路：既然移动每个点太麻烦，干脆移动原点。一开始所有点都在正方向，也就是所有点都在原点的一侧，然后每个点将会朝原点移动。此时，到达原点的点就不用再管了，接下来有些点还在原点的原来的一侧，有些点到达了另一侧。我们可以把原点两边点少的那一侧“折”到另一侧对应的位置。例如当前原点为 5，那么 3 对应的位置就是 7。这样，所有的点就有都在原点的一侧了。设某一次操作时点 \(p\) 被折叠到了 \(p'\)，不难发现，\(p\) 最终的答案就是 \(p'\) 的相反数。我们折叠的时候记录一下，建一条从 \(p'\) 到 \(p\) 的有向边，最后会形成一个森林，从每一棵树的根开始更新答案即可。

复杂度：时间复杂度 \(O(m+\max\{x_i\})\)

ARC139_a

题意：定义 \(\mathrm{ctz}(x)\) 为 \(x\) 在二进制状态下末尾的 \(0\) 的数量。给定长度为 \(n\) 的数列 \(T\) (\(1 \le n \le 10^5,0 \le T_i \le 40\))，请求出一个合法的数列 \(A\)，满足 \(\mathrm{ctz}(A_i)=T_i\ (1 \le i \le n)\) 且严格单调递增，输出最小的 \(A_n\)

思路：不难想到贪心做法。对于每一个 \(A_i\)，先设其为 \(2^{T_i}\)，若 \(A_i < A_{i-1}\)，那么我们将其之差（设为 \(x\)）将位数最小的非 \(0\) 为加一再加上原数即可。即 \(A_i=2^{T_i}+(x\div2^{T_i+1}+1)\times2^{T_i+1}\)。

复杂度：\(O(n)\)

ARC138_b

题意：给定一个 \(0|1\) 字符串，现在你有一个空串，你可以对此空串进行若干次以下操作：

• 将当前串的前面插♂入一个 \(0\)，并将其它的所有数反转。

• 将当前串的后面插♂入一个 \(0\)。

求是否能够把这个空串变成给定的字符串。

思路：不妨两头一起处理。先从后面开始处理，每次找到最长的一串相同的子串且该子串的结尾就是整个字符串的结尾，将其删除。接下来的尾部字符串的值与之前你删除的子串的值相反，说明这个时候在前面插入了一个 \(0\) 并且整个字符串反转了，所以我们删除前面的一个数。如此反复，值得一提的是，前面的数每插入一次就会反转一次，也就是说前面的数不可能出现两个相同的数，遇到这种情况直接输出 No。

复杂度：时间复杂度 \(O(n)\)。

ARC139_b

题意：给定一个数 \(n\)，你可以进行若干次以下操作：

• \(n\ to\ n-1\)，代价为 \(z\)；

• \(n\ to\ n-a\)，代价为 \(x\)；

• \(n\ to\ n-b\)，代价为 \(y\)。

求最少操作多少次是 \(n\ to\ 0\)。

思路：如果一次 \(-a\ or\ -b\) 的代价小于 \(-1\times a\ or-1\times b\)，那么先枚举减去多少个 \(a\),剩下的用 \(-b\) 和 \(-1\) 就好了。如果 \(-a\ or\ -b\) 的代价大于 \(-1\times a\ or-1\times b\)，那么我们就全部一个一个减即可。

复杂度：\(O(T\sqrt{n})\)

ARC138_a

题意：求最少将一个数列中的任意两个相邻的数交换位置几次，使前 \(k\) 个数之和比原来的小。

思路：不难发现，最优解必然是将前 \(k\) 个数中的一个数与后面且大于其的数交换。枚举前 \(k\) 个数再二分找需要交换的数。

复杂度：\(O(n\ \log\ n)\)