摘要：
First \[\begin{align} \frac{2\tan x}{\sec^{2}x}=? \\ \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \enspace \sec x=\frac{1}{\cos x} \\ \\ \frac{2\sin x}{\cos x}\di 阅读全文
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如下图所示，有一个由三条直线与一条曲线围成的特殊四边形，现在想求这个特殊四边形的面积(设为\(S\)) 如下图所示，用\(n\)个矩形去拟合特殊四边形，然后算出这些矩形的面积之和。 若\(n \to +\infin\)，那么\(n\)个矩形的面积之和就无限趋近于\(S\) 用数学语言表达即为: 已知 阅读全文
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性质1 线性性质 \[\int_{a}^{b}[\alpha f(x)\pm\beta g(x)]dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx \pm\beta\int_{a}^{b}g(x)dx \] 性质2 可加性 设: \(a<c<b\) \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\ 阅读全文
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Preface 利用分部积分法可以解决的常见积分类型 第一类 幂函数与指数函数或正余弦函数乘积的积分，分部积分后，幂函数被降次，直至没有 可以设 \(u=x^{n}\): \(\int x^{n} e^{ax} dx\) \(\int x^{n} \sin ax dx\) \(\int x^{n} 阅读全文
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在求解不定积分的过程中，第一和第二换元积分法的应用不是彼此孤立的，往往需要同时混合使用 instance 0 \[\begin{align} \int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}dx=? \\ \\ 设:x=2\sin t \\ \\ \int\left(2\sin t\right)^{ 阅读全文
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depict 设函数 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有连续导数，则有下述积分公式: \[\int u q' dx=u q-\int u' q dx ,\quad (式0.0.1) \] prove 因为 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有连续导数，根据导 阅读全文
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properties 定义域和值域： 反函数\(y=f^{-1}(x)\)的定义域是函数\(y=f(x)\)的值域， \(y=f^{-1}(x)\)的值域是函数\(y=f(x)\)的定义域 单调性： 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。 严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数 对称性： 阅读全文
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introduction 设\(x=\phi(t)\)是单调可导函数，并且\(\phi '(t) \ne 0\) 又设: \(f[\phi(t)]\phi'(t)\)具有原函数\(\Phi(t)\)，则有: \[\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt=\Phi(t 阅读全文
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eduction \[ \begin{align} \text {设} u=\varphi(x) 在点x可导 ,F(u) 在对应点u=\varphi(x) 可导 \\ 则F[\varphi(x)]在点x可导，设F[\varphi(x)]的导数为f[\varphi(x)]，有如下: \\ \\ \qu 阅读全文
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Invoke: 和差化积公式 根据 和差化积 推衍出 积化和差 procedure \[\begin{align} 序1: 已知和差化积公式:\\ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \ 阅读全文