摘要：Instance 0 \[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx=? \\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+ 阅读全文

摘要：Preamble 在一些实际问题中，常常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分 因此需要将定积分的概念加以推广，从而引进无穷限积分和无界函数的积分。 二者统称为反常积分(或广义积分) 无穷限的反常积分 先来考察一个例子 例1 计算由曲线 \(y=\frac1{x^2}\),直线\(x= 阅读全文

摘要：brief 设函数 \(u=u(x)\) 与 \(q=q(x)\) 在 \([a,b]\)上分别具有连续的导数: \(u'(x)\) 与 \(q'(x)\) , 则有分部定积分公式: \[\int_{a}^{b} udq=[uq]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} qdu \] instan 阅读全文

摘要：\[\begin{eqnarray} 已知定积分函数: \int_{a}^{b}f(x)dx, \enspace [a,b] \\ \\ b>a \Rightarrow F(b)>F(a) \\ \\ 要求证明: \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx \\ \ 阅读全文

摘要：brief 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为偶函数，则: \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx \] 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为奇函数，则: \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \] prov 阅读全文

摘要：brief 设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续变化，函数\(x= \varphi (t)\)在区间\([\alpha,\beta]\)上具有连续的导数 当\(t\)在区间\([\alpha,\beta]\)上变化时，\(x= \varphi (t)\)的值在\([a,b]\)上变化 阅读全文

摘要：first \[\begin{align} \Phi(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t d t, \enspace \Phi^{\prime}(x)=? \\ \\ 设: u=x^{2} \\ \\ \text { 则: } G(u)=\int_{0}^{u} \sin t d 阅读全文